Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
(n) an=raiz[n]2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a sequência $ a_n = \sqrt[n]{2n} $ para ver se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme $ n $ cresce) ou diverge (se não se estabiliza). Pra isso, a gente vai usar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever $ a_n $ de uma forma que fique mais fácil de trabalhar com limites. Sabemos que $ \sqrt[n]{2n} $ é a mesma coisa que $ (2n)^{1/n} $. Então:
an

Passo 3

Agora, vamos separar o termo $ 2n $ em dois fatores multiplicativos dentro da potência:
2n

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, $ 2^{1/n} $. Sabemos que conforme $ n $ cresce, $ 1/n $ fica cada vez menor, aproximando-se de 0. E qualquer número positivo elevado a 0 é 1. Portanto:
2^1/n

Passo 5

Agora, vamos olhar para $ n^{1/n} $. Isso significa a raiz $ n $-ésima de $ n $. Também aqui, à medida que $ n $ aumenta, a raiz fica mais “suave” e o resultado tende a 1. Ou seja:
n^1/n

Passo 6

Finalmente, juntando as duas partes que sabemos que tendem a 1:
limn to infty an = limn to infty 2^1/n times n^1/n = 1 times 1 = 1

Resposta

A sequência $ a_n = \sqrt[n]{2n} $ converge e o seu limite é 1.

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