Quais das sequências
convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
(n)
(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a sequência $ a_n = \sqrt[n]{2n} $ para ver se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme $ n $ cresce) ou diverge (se não se estabiliza). Pra isso, a gente vai usar conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever $ a_n $ de uma forma que fique mais fácil de trabalhar com limites. Sabemos que $ \sqrt[n]{2n} $ é a mesma coisa que $ (2n)^{1/n} $. Então:
Passo 3
Agora, vamos separar o termo $ 2n $ em dois fatores multiplicativos dentro da potência:
Passo 4
Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, $ 2^{1/n} $. Sabemos que conforme $ n $ cresce, $ 1/n $ fica cada vez menor, aproximando-se de 0. E qualquer número positivo elevado a 0 é 1. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos olhar para $ n^{1/n} $. Isso significa a raiz $ n $-ésima de $ n $. Também aqui, à medida que $ n $ aumenta, a raiz fica mais “suave” e o resultado tende a 1. Ou seja:
Passo 6
Finalmente, juntando as duas partes que sabemos que tendem a 1:
Resposta
A sequência $ a_n = \sqrt[n]{2n} $ converge e o seu limite é 1.