Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
(j) an=n^82^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência $ a_{n} = \frac{n{8}}{2{n}} $ converge ou diverge e, se convergir, encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências envolvendo funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar o comportamento da sequência quando $ n $ cresce sem limites. Temos no numerador $ n^{8} $, que é um polinômio de grau 8, e no denominador $ 2^{n} $, que é uma função exponencial.

Passo 3

Sabemos que, em geral, funções exponenciais crescem mais rápido que polinômios à medida que $ n $ tende ao infinito. Isso significa que, mesmo que $ n^{8} $ cresça bastante, $ 2^{n} $ cresce ainda mais rápido, fazendo com que a fração $ \frac{n{8}}{2{n}} $ diminua à medida que $ n $ aumenta.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar o Critério da Razão. Calculamos o limite do quociente entre $ a_{n+1} $ e $ a_{n} $:
an+1
Simplificando, temos:
an
Como esse limite é menor que 1, o critério da razão nos diz que a sequência converge para 0.

Resposta

A sequência $ a_{n} = \frac{n{8}}{2{n}} $ converge e o seu limite é 0.

Exercícios relacionados