Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
(t) an=1n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência $ a_{n} = \frac{1}{n} $ converge ou não. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que é um tópico fundamental no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, à medida que $ n $ aumenta, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um certo valor, chamado de limite.

Passo 3

Agora, olhando para a sequência $ a_{n} = \frac{1}{n} $, percebemos que à medida que $ n $ cresce, o valor de $ \frac{1}{n} $ diminui. Por exemplo:
  • Se $ n = 1 $, $ a_{1} = 1 $
  • Se $ n = 2 $, $ a_{2} = 0.5 $
  • Se $ n = 10 $, $ a_{10} = 0.1 $
  • E assim por diante…
Veja que quanto maior o valor de $ n $, menor é o valor de $ \frac{1}{n} $.

Passo 4

Para formalizar isso, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Quando $ n $ vai para o infinito, $ \frac{1}{n} $ fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 5

Portanto, o limite da sequência $ a_{n} = \frac{1}{n} $ é:
an = 1n
Isso significa que a sequência converge para 0.

Resposta

A sequência $ a_{n} = \frac{1}{n} $ converge e o seu limite é 0.

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