Suponha que queiramos construir uma estrada que une os pontos
e
e segue o caminho do círculo com a equação
. Encontre o comprimento desta estrada.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de uma estrada que liga os pontos A=(0,0) e B=(3,2) seguindo exatamente o arco de um círculo dado por (4x+4)2+(4y-19)2=377. Vamos usar geometria analítica: identificar centro e raio do círculo, depois calcular o ângulo central entre A e B e, por fim, o comprimento do arco.
Passo 2
Reescrevendo a equação como (4(x+1))2+(4y-19)2=377, vemos que o centro do círculo é C=(-1,19/4) e o raio é r=√377/4.
Passo 3
Formamos os vetores do centro aos pontos:
e
.
Passo 4
Para achar o ângulo θ entre
e
, usamos o produto escalar:
Calculando, encontramos
e
, resultando em
e
.
Passo 5
O comprimento do arco (menor) que liga A a B é dado por
. Substituindo, obtemos: