Suponha que queiramos construir uma estrada que une os pontos (0,0) e (3,2) e segue o caminho do círculo com a equação (4 x+4)^2+(4 y- 19)^2=377. Encontre o comprimento desta estrada.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de uma estrada que liga os pontos A=(0,0) e B=(3,2) seguindo exatamente o arco de um círculo dado por (4x+4)2+(4y-19)2=377. Vamos usar geometria analítica: identificar centro e raio do círculo, depois calcular o ângulo central entre A e B e, por fim, o comprimento do arco.

Passo 2

Reescrevendo a equação como (4(x+1))2+(4y-19)2=377, vemos que o centro do círculo é C=(-1,19/4) e o raio é r=√377/4.

Passo 3

Formamos os vetores do centro aos pontos: CA=A-C=(0-(-1),0-19/4)=(1,-19/4) e CB=B-C=(3-(-1),2-19/4)=(4,-11/4).

Passo 4

Para achar o ângulo θ entre CA e CB, usamos o produto escalar: costheta=CAcdotCB|CA|,|CB| Calculando, encontramos CAcdotCB=273/16 e |CA|=|CB|=raiz377/4, resultando em costheta=273/377 e theta=arccos(273/377).

Passo 5

O comprimento do arco (menor) que liga A a B é dado por L=rtheta. Substituindo, obtemos: L=raiz3774,arccosl(273377r)

Resposta

L=raiz3774,arccosl(273377r) (~3,69 unidades)

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