Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
(q) an=cos (2 n pi)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se a sequência $ {a_n} $ dada por $ a_n = \cos(2n\pi) $ converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre sequências, funções trigonométricas e convergência, ou seja, como uma sequência de números se aproxima de um valor específico à medida que $ n $ aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão $ \cos(2n\pi) $. Sabemos que o cosseno é uma função periódica com período $ 2\pi $, o que significa que $ \cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta) $ para qualquer ângulo $ \theta $.

Passo 3

Substituindo $ \theta $ por $ 2n\pi $, temos:
theta
Isso acontece porque $ 2n\pi $ é múltiplo completo de $ 2\pi $, retornando ao ponto de partida no círculo trigonométrico, onde o cosseno é igual a 1.

Passo 4

Observamos que para qualquer valor de $ n $, não importa qual seja, $ a_n = 1 $. Portanto, a sequência é:
n

Passo 5

Como todos os termos da sequência são iguais a 1, a sequência converge. A convergência significa que, conforme $ n $ aumenta, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um valor fixo.

Resposta

A sequência $ {a_n} $ converge e o limite é $ 1 $.

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