Quais das sequências
convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
(q)
(q)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se a sequência $ {a_n} $ dada por $ a_n = \cos(2n\pi) $ converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre sequências, funções trigonométricas e convergência, ou seja, como uma sequência de números se aproxima de um valor específico à medida que $ n $ aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão $ \cos(2n\pi) $. Sabemos que o cosseno é uma função periódica com período $ 2\pi $, o que significa que $ \cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta) $ para qualquer ângulo $ \theta $.
Passo 3
Substituindo $ \theta $ por $ 2n\pi $, temos:
Isso acontece porque $ 2n\pi $ é múltiplo completo de $ 2\pi $, retornando ao ponto de partida no círculo trigonométrico, onde o cosseno é igual a 1.
Passo 4
Observamos que para qualquer valor de $ n $, não importa qual seja, $ a_n = 1 $. Portanto, a sequência é:
Passo 5
Como todos os termos da sequência são iguais a 1, a sequência converge. A convergência significa que, conforme $ n $ aumenta, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um valor fixo.
Resposta
A sequência $ {a_n} $ converge e o limite é $ 1 $.