Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
(l) an=raiz[n]1000

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência $ a_n = \sqrt[n]{1000} $ converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite dela. Vamos usar conceitos de limites de sequências e radiciação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \sqrt[n]{1000} $. Essa expressão representa a raiz $ n $-ésima de 1000. Em outras palavras, estamos buscando um número que, multiplicado por si mesmo $ n $ vezes, dá 1000.

Passo 3

Para descobrir o comportamento dessa sequência conforme $ n $ cresce, vamos transformar a expressão usando logaritmos. Isso facilita o cálculo dos limites. Aplicando o logaritmo natural (ln) em ambos os lados, temos:
n

Passo 4

Lembrando das propriedades dos logaritmos, especificamente que $ \ln(x^k) = k \ln(x) $, podemos reescrever a equação:
ln(x^k) = k ln(x)

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de $ \ln(a_n) $ quando $ n $ tende ao infinito. Como ln(an) é uma constante, temos:
n
Isso porque qualquer constante dividida por um número que cresce sem limites tende a zero.

Passo 6

Sabemos que se $ \lim_{n \to \infty} \ln(a_n) = 0 $, então:
limn to infty ln(an) = 0
Aqui, usamos o fato de que $ e^{\ln(x)} = x $ e que $ e^0 = 1 $.

Resposta

A sequência $ a_n = \sqrt[n]{1000} $ converge e o seu limite é 1.

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