Quais das sequências
convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência $ a_n = \sqrt[n]{1000} $ converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite dela. Vamos usar conceitos de limites de sequências e radiciação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \sqrt[n]{1000} $. Essa expressão representa a raiz $ n $-ésima de 1000. Em outras palavras, estamos buscando um número que, multiplicado por si mesmo $ n $ vezes, dá 1000.
Passo 3
Para descobrir o comportamento dessa sequência conforme $ n $ cresce, vamos transformar a expressão usando logaritmos. Isso facilita o cálculo dos limites. Aplicando o logaritmo natural (ln) em ambos os lados, temos:
Passo 4
Lembrando das propriedades dos logaritmos, especificamente que $ \ln(x^k) = k \ln(x) $, podemos reescrever a equação:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de $ \ln(a_n) $ quando $ n $ tende ao infinito. Como
é uma constante, temos:
Isso porque qualquer constante dividida por um número que cresce sem limites tende a zero.
Passo 6
Sabemos que se $ \lim_{n \to \infty} \ln(a_n) = 0 $, então:
Aqui, usamos o fato de que $ e^{\ln(x)} = x $ e que $ e^0 = 1 $.
Resposta
A sequência $ a_n = \sqrt[n]{1000} $ converge e o seu limite é 1.