(Para ser entregue) Considere o polinômio:
e o valor
.
(a) Calcule o valor de
utilizando aritmética com
algarismos significativos e truncamento em todas as operações intermediárias. Determine o erro relativo percentual em relação ao valor exato.
(b) Repita o item (a), mas reescrevendo o polinômio na forma de Horner:
Calcule o erro relativo percentual e compare com o item (a).
(c) Repita o item (a), mas utilizando arredondamento (em vez de truncamento) com 3 algarismos significativos em todas as operações. Calcule o erro relativo percentual.
(d) Repita o item (b), utilizando arredondamento com 3 algarismos significativos. Calcule o erro relativo percentual e compare com os resultados anteriores.
Em todos os itens, as operações intermediárias devem respeitar rigorosamente o número de algarismos significativos indicado.
(a) Calcule o valor de
(b) Repita o item (a), mas reescrevendo o polinômio na forma de Horner:
(c) Repita o item (a), mas utilizando arredondamento (em vez de truncamento) com 3 algarismos significativos em todas as operações. Calcule o erro relativo percentual.
(d) Repita o item (b), utilizando arredondamento com 3 algarismos significativos. Calcule o erro relativo percentual e compare com os resultados anteriores.
Em todos os itens, as operações intermediárias devem respeitar rigorosamente o número de algarismos significativos indicado.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio e o ponto:
As tarefas pedidas são:
(a) calcular usando aritmética com
algarismos significativos (AS) e \emph{truncamento} em todas as operações intermediárias; depois determinar o erro relativo percentual em relação ao valor exato;
(b) repetir (a) reescrevendo o polinômio na forma de Horner , ainda com truncamento, e calcular o erro relativo percentual; comparar com (a);
(c) repetir (a) mas usando \emph{arredondamento} para 3 AS em todas as operações intermediárias; calcular erro relativo percentual;
(d) repetir (b) com arredondamento para 3 AS; calcular erro relativo percentual e comparar com os demais casos.
(a) calcular
(b) repetir (a) reescrevendo o polinômio na forma de Horner
(c) repetir (a) mas usando \emph{arredondamento} para 3 AS em todas as operações intermediárias; calcular erro relativo percentual;
(d) repetir (b) com arredondamento para 3 AS; calcular erro relativo percentual e comparar com os demais casos.
Informações relevantes que usarei:
- O valor “exato” será o calculado com precisão normal (sem arredondar/truncar intermediários).
- Sempre que eu escrever um número em forma decimal em cálculos explicitos, ele será tratado conforme as regras pedidas (3 AS, truncamento ou arredondamento) na etapa indicada.
- Vou explicar como aplicar truncamento e arredondamento para 3 AS antes de calcular.
Passo 2
Breve aula prática sobre algarismos significativos (AS), truncamento e arredondamento (regras que vamos usar):
- Um número tem AS contados a partir do primeiro dígito não nulo. Ex.:
tem 3 AS; tem 2 AS (se necessário, pode escrever para explicitar 3 AS). - Truncamento para 3 AS: cortar todos os dígitos depois do terceiro dígito significativo, sem alterar o terceiro dígito. Ex.:
(mantém os três dígitos 1, 8, 7). - Arredondamento para 3 AS: olhar o quarto dígito significativo; se for
aumenta o terceiro dígito em 1, senão mantém. Ex.: (porque o quarto dígito é 6). - Em multiplicações/somas sucessivas, a regra do enunciado manda aplicar truncamento/arredondamento \emph{em cada operação intermediária}. Ou seja: calcula-se o resultado exato da operação e depois se reduz para 3 AS conforme a regra pedida antes de usar esse resultado na próxima operação.
Vou calcular primeiro o valor exato de referência (sem reduções intermediárias) para depois medir os erros.
Passo 3
Cálculo do valor exato (referência), sem reduzir os intermediários:
Somando:
Esse será o valor de referência para calcular os erros relativos percentuais.
Passo 4
(a) Cálculo com
AS e \emph{truncamento} — forma direta
.
- Primeiro, os dados iniciais já com 3 AS:
- Calcular
e truncar a 3 AS:
- Calcular
usando o truncado e truncar o resultado a 3 AS:
- Calcular
usando :
- Calcular
com :
- Somar os termos na ordem natural, aplicando truncamento após cada soma (cada operação intermediária):
- Primeiro
:
- Depois somar
:
- Finalmente somar a constante
:
Resultado final do item (a) com truncamento:
- Erro relativo percentual:
Passo 5
(b) Cálculo com
AS e \emph{truncamento}, mas usando a forma de Horner
.
Vamos executar passo a passo, truncando cada resultado a 3 AS:
- Subtração inicial:
- Multiplicação seguinte (usar truncamento no produto):
- Soma com
:
- Multiplicação por
:
- Soma final com
:
Resultado do item (b) com Horner+truncamento:
- Erro relativo percentual:
Comparação qualitativa: com truncamento a forma de Horner deu erro bem menor (
) que a forma direta (
). Horner reduz números intermediários grandes e cancelamentos, por isso tende a reduzir erro de arredondamento/truncamento.
Passo 6
(c) Repetir o item (a) porém usando
AS com \emph{arredondamento} em todas as operações intermediárias (não truncamento). Forma direta
.
-
arredondando a 3 AS: (porque o quarto dígito é 6). -
arredondando a 3 AS: (o quarto dígito é 5, então sobe). -
(escrito para explicitar 3 AS). -
(já em 3 AS). - Somando com arredondamentos após cada operação:
-
(3 AS), -
(3 AS; o zero é significativo aqui), -
arredondando a 3 AS: .
Resultado do item (c) com arredondamento:
Erro relativo percentual:
Passo 7
(d) Repetir o item (b) (Horner) usando
AS com \emph{arredondamento}.
-
(3 AS). -
arredondando a 3 AS: (o quarto dígito é 3, não arredonda). -
(3 AS). -
arredondando a 3 AS: . -
arredondando a 3 AS: .
Resultado do item (d) com Horner+arredondamento:
Erro relativo percentual:
Comparação resumida (observação): Horner (itens b e d) deu o mesmo resultado
tanto com truncamento quanto com arredondamento neste caso específico, e apresentou erro muito menor que a avaliação direta com 3 AS. Arredondamento na forma direta (c) foi melhor que truncamento direto (a), mas Horner ainda foi superior.
Resposta
(a)
erro relativo percentual
(b) erro relativo percentual
(c) erro relativo percentual
(d) erro relativo percentual
(b)
(c)
(d)