(Para ser entregue) Considere o polinômio:
y=x^{3}-5 x^{2}+6 x+0,55
e o valor x=1,37.
(a) Calcule o valor de y utilizando aritmética com \mathbf{3} algarismos significativos e truncamento em todas as operações intermediárias. Determine o erro relativo percentual em relação ao valor exato.
(b) Repita o item (a), mas reescrevendo o polinômio na forma de Horner:
y=((x-5) x+6) x+0,55
Calcule o erro relativo percentual e compare com o item (a).
(c) Repita o item (a), mas utilizando arredondamento (em vez de truncamento) com 3 algarismos significativos em todas as operações. Calcule o erro relativo percentual.
(d) Repita o item (b), utilizando arredondamento com 3 algarismos significativos. Calcule o erro relativo percentual e compare com os resultados anteriores.
Em todos os itens, as operações intermediárias devem respeitar rigorosamente o número de algarismos significativos indicado.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio e o ponto:
y = x^{3} - 5x^{2} + 6x + 0{,}55,\qquad x = 1{,}37.
As tarefas pedidas são:
(a) calcular y usando aritmética com \mathbf{3} algarismos significativos (AS) e \emph{truncamento} em todas as operações intermediárias; depois determinar o erro relativo percentual em relação ao valor exato;
(b) repetir (a) reescrevendo o polinômio na forma de Horner \;y=((x-5)x+6)x+0{,}55\;, ainda com truncamento, e calcular o erro relativo percentual; comparar com (a);
(c) repetir (a) mas usando \emph{arredondamento} para 3 AS em todas as operações intermediárias; calcular erro relativo percentual;
(d) repetir (b) com arredondamento para 3 AS; calcular erro relativo percentual e comparar com os demais casos.
Informações relevantes que usarei:
  • O valor “exato” será o calculado com precisão normal (sem arredondar/truncar intermediários).
  • Sempre que eu escrever um número em forma decimal em cálculos explicitos, ele será tratado conforme as regras pedidas (3 AS, truncamento ou arredondamento) na etapa indicada.
  • Vou explicar como aplicar truncamento e arredondamento para 3 AS antes de calcular.

Passo 2

Breve aula prática sobre algarismos significativos (AS), truncamento e arredondamento (regras que vamos usar):
  • Um número tem AS contados a partir do primeiro dígito não nulo. Ex.: 1{,}37 tem 3 AS; 0{,}55 tem 2 AS (se necessário, pode escrever 0{,}550 para explicitar 3 AS).
  • Truncamento para 3 AS: cortar todos os dígitos depois do terceiro dígito significativo, sem alterar o terceiro dígito. Ex.: 1{,}8769 \to 1{,}87 (mantém os três dígitos 1, 8, 7).
  • Arredondamento para 3 AS: olhar o quarto dígito significativo; se for \ge 5 aumenta o terceiro dígito em 1, senão mantém. Ex.: 1{,}8769 \to 1{,}88 (porque o quarto dígito é 6).
  • Em multiplicações/somas sucessivas, a regra do enunciado manda aplicar truncamento/arredondamento \emph{em cada operação intermediária}. Ou seja: calcula-se o resultado exato da operação e depois se reduz para 3 AS conforme a regra pedida antes de usar esse resultado na próxima operação.
Vou calcular primeiro o valor exato de referência (sem reduções intermediárias) para depois medir os erros.

Passo 3

Cálculo do valor exato (referência), sem reduzir os intermediários:
x^{2} = (1{,}37)^{2} = 1{,}8769,
x^{3} = x^{2}\cdot x = 1{,}8769\cdot 1{,}37 = 2{,}569953,
-5x^{2} = -5\cdot 1{,}8769 = -9{,}3845,
6x = 6\cdot 1{,}37 = 8{,}22.
Somando:
y_{\text{exato}} = 2{,}569953 - 9{,}3845 + 8{,}22 + 0{,}55 = 1{,}955453.
Esse será o valor de referência para calcular os erros relativos percentuais.

Passo 4

(a) Cálculo com \mathbf{3} AS e \emph{truncamento} — forma direta y=x^{3}-5x^{2}+6x+0{,}55.
  1. Primeiro, os dados iniciais já com 3 AS:
x = 1{,}37 \quad(\text{3 AS}),\qquad \text{constante }0{,}55 \text{ usarei como }0{,}550\\ (\text{para 3 AS explícitos}).í
  1. Calcular x^{2} e truncar a 3 AS:
x^{2} = (1{,}37)^{2} = 1{,}8769 \longrightarrow \text{truncando a 3 AS: }1{,}87.
  1. Calcular x^{3} usando o x^{2} truncado e truncar o resultado a 3 AS:
x^{3} = 1{,}87\cdot 1{,}37 = 2{,}5619 \longrightarrow \text{truncando a 3 AS: }2{,}56.
  1. Calcular -5x^{2} usando x^{2}=1{,}87:
-5x^{2} = -5\cdot 1{,}87 = -9{,}35 \quad(\text{já tem 3 AS}).á
  1. Calcular 6x com x=1{,}37:
6x = 6\cdot 1{,}37 = 8{,}22 \quad(\text{3 AS}).
  1. Somar os termos na ordem natural, aplicando truncamento após cada soma (cada operação intermediária):
  • Primeiro x^{3} + (-5x^{2}):
2{,}56 + (-9{,}35) = -6{,}79 \quad(\text{truncado para 3 AS: }-6{,}79).
  • Depois somar 6x:
-6{,}79 + 8{,}22 = 1{,}43 \quad(\text{3 AS}).
  • Finalmente somar a constante 0{,}550:
1{,}43 + 0{,}550 = 1{,}980 \longrightarrow \text{truncando a 3 AS: }1{,}98.
Resultado final do item (a) com truncamento: \;y_{\text{(a)}} = 1{,}98.
  1. Erro relativo percentual:
\text{erro absoluto} = |1{,}98 - 1{,}955453| = 0{,}024547,
\text{erro relativo} = \frac{0{,}024547}{1{,}955453}\approx 0{,}0126 \quad\Rightarrow\quad \text{erro relativo percentual}\approx 1{,}26\%.

Passo 5

(b) Cálculo com \mathbf{3} AS e \emph{truncamento}, mas usando a forma de Horner \;y=((x-5)x+6)x+0{,}55.
Vamos executar passo a passo, truncando cada resultado a 3 AS:
  1. Subtração inicial:
x-5 = 1{,}37 - 5 = -3{,}63 \quad(\text{3 AS}).
  1. Multiplicação seguinte (usar truncamento no produto):
(-3{,}63)\cdot 1{,}37 = -4{,}9731 \longrightarrow \text{truncando a 3 AS: }-4{,}97.
  1. Soma com +6:
-4{,}97 + 6 = 1{,}03 \quad(\text{3 AS}).
  1. Multiplicação por x:
1{,}03\cdot 1{,}37 = 1{,}4111 \longrightarrow \text{truncando a 3 AS: }1{,}41.
  1. Soma final com 0{,}550:
1{,}41 + 0{,}550 = 1{,}960 \longrightarrow \text{truncando a 3 AS: }1{,}96.
Resultado do item (b) com Horner+truncamento: \;y_{\text{(b)}} = 1{,}96.
  1. Erro relativo percentual:
\text{erro absoluto} = |1{,}96 - 1{,}955453| = 0{,}004547,
\text{erro relativo} = \frac{0{,}004547}{1{,}955453}\approx 0{,}00233 \quad\Rightarrow\quad \text{erro relativo percentual}\approx 0{,}233\%.
Comparação qualitativa: com truncamento a forma de Horner deu erro bem menor ( \approx 0{,}233\%) que a forma direta ( \approx 1{,}26\%). Horner reduz números intermediários grandes e cancelamentos, por isso tende a reduzir erro de arredondamento/truncamento.

Passo 6

(c) Repetir o item (a) porém usando \mathbf{3} AS com \emph{arredondamento} em todas as operações intermediárias (não truncamento). Forma direta y=x^{3}-5x^{2}+6x+0{,}55.
  1. x^{2} = (1{,}37)^{2} = 1{,}8769 \longrightarrow arredondando a 3 AS: 1{,}88 (porque o quarto dígito é 6).
  2. x^{3} = 1{,}88\cdot 1{,}37 = 2{,}5756 \longrightarrow arredondando a 3 AS: 2{,}58 (o quarto dígito é 5, então sobe).
  3. -5x^{2} = -5\cdot 1{,}88 = -9{,}40 (escrito -9{,}40 para explicitar 3 AS).
  4. 6x = 8{,}22 (já em 3 AS).
  5. Somando com arredondamentos após cada operação:
  • 2{,}58 + (-9{,}40) = -6{,}82 (3 AS),
  • -6{,}82 + 8{,}22 = 1{,}40 (3 AS; o zero é significativo aqui),
  • 1{,}40 + 0{,}550 = 1{,}950 \longrightarrow arredondando a 3 AS: 1{,}95.
Resultado do item (c) com arredondamento: \;y_{\text{\text{(c)}}} = 1{,}95.
Erro relativo percentual:
\text{erro absoluto} = |1{,}95 - 1{,}955453| = 0{,}005453,
\text{erro relativo} = \frac{0{,}005453}{1{,}955453}\approx 0{,}00279 \quad\Rightarrow\quad \text{erro relativo percentual}\approx 0{,}279\%.

Passo 7

(d) Repetir o item (b) (Horner) usando \mathbf{3} AS com \emph{arredondamento}.
  1. x-5 = -3{,}63 (3 AS).
  2. (-3{,}63)\cdot 1{,}37 = -4{,}9731 \longrightarrow arredondando a 3 AS: -4{,}97 (o quarto dígito é 3, não arredonda).
  3. -4{,}97 + 6 = 1{,}03 (3 AS).
  4. 1{,}03\cdot 1{,}37 = 1{,}4111 \longrightarrow arredondando a 3 AS: 1{,}41.
  5. 1{,}41 + 0{,}550 = 1{,}960 \longrightarrow arredondando a 3 AS: 1{,}96.
Resultado do item (d) com Horner+arredondamento: \;y_{\text{(d)}} = 1{,}96.
Erro relativo percentual:
\text{erro absoluto} = |1{,}96 - 1{,}955453| = 0{,}004547,
\text{erro relativo} = \frac{0{,}004547}{1{,}955453}\approx 0{,}00233 \quad\Rightarrow\quad \text{erro relativo percentual}\approx 0{,}233\%.
Comparação resumida (observação): Horner (itens b e d) deu o mesmo resultado 1{,}96 tanto com truncamento quanto com arredondamento neste caso específico, e apresentou erro muito menor que a avaliação direta com 3 AS. Arredondamento na forma direta (c) foi melhor que truncamento direto (a), mas Horner ainda foi superior.

Resposta

(a) y_{\text{(a)}}=1{,}98, erro relativo percentual \approx 1{,}26\%
(b) y_{\text{(b)}}=1{,}96, erro relativo percentual \approx 0{,}233\%
(c) y_{\text{\text{(c)}}}=1{,}95, erro relativo percentual \approx 0{,}279\%
(d) y_{\text{(d)}}=1{,}96, erro relativo percentual \approx 0{,}233\%

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