a) calcular o determinante de A usando a decomposição LU;
b) resolver o sistema A x=b.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é 3\times3 e contém os elementos listados acima.
O vetor b tem componentes \,0,\,6,\,5.
Não há indicação de uso de pivotamento; usaremos uma decomposição LU sem permutações (método de Doolittle: L com diagonal unitária).]
Passo 2
O que é a decomposição LU (explicação didática curta e fórmulas usadas).
Queremos escrever A=LU, onde L é triangular inferior com uns na diagonal (ou seja, L_{ii}=1) e U é triangular superior.
A vantagem: operações de eliminação gaussiana fornecem diretamente os elementos de L (os multiplicadores) e de U (os pivôs e entradas restantes).
Notação: L=(\ell_{ij}) com \ell_{ii}=1 e \ell_{ij}=0 para j>i; U=(u_{ij}) com u_{ij}=0 para i>j.
Procedimento (Doolittle): inicializar u_{11}=a_{11}. Para eliminar abaixo do primeiro pivô, os multiplicadores são \ell_{21}=a_{21}/u_{11}, \ell_{31}=a_{31}/u_{11}. Subtrair \ell_{2 1} vezes a linha 1 da linha 2 e \ell_{31} vezes a linha 1 da linha 3 para obter a submatriz 2×2 reduzida; então continuar com o segundo pivô u_{22}, etc.
Breve verificação estrutural: multiplicadores \ell_{21}=\tfrac{1}{2}, \ell_{31}=-1, \ell_{32}=\tfrac{2}{3} aparecem corretamente em L, e U contém os pivôs 4,9,1 na diagonal.]
Passo 3
Determinante via LU.
Fato usado (explicado): para matrizes quadradas, \det(A)=\det(L)\det(U). Aqui L é triangular com diagonal formada só por 1's, logo \det(L)=1. Então
\det(A)=\det(U)=\prod_{i=1}^{3} u_{ii}.
Os pivôs diagonais são u_{11}=4, u_{22}=9, u_{33}=1. Portanto
\det(A)=4\cdot 9\cdot 1 = 36.
Passo 4
Resolver A x=b usando LU.
Estratégia: primeiro resolver L y=b (substituição para frente), depois resolver U x = y (substituição para trás). Isso é eficiente porque L e U são triangulares.