Qual será o erro no comprimento de um alinhamento, em mm, devido ao desvio vertical do diastímetro, sabendo-se que: o desnível do terreno, para cada lance, é de 0,25 \mathrm{~m}, o comprimento do alinhamento medido resultou em 150,00 \mathrm{~m} e o comprimento do diastímetro é de 25,00 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede o erro na medição horizontal de um alinhamento de comprimento medido 150,00,m com um diastímetro de 25,00,m, sabendo que em cada lance há um desnível vertical de 0,25,m. O conteúdo aqui é a diferença entre o comprimento medido ao longo da rampa (slope) e a projeção horizontal, que se obtém por \text{projeção horizontal} = \sqrt{L^2 - v^2},çã
onde L é o comprimento do diastímetro e v é o desnível em cada lance.

Passo 2

Calcular o número de lances (trechos) necessários para percorrer 150{,}00,m, sabendo que cada lance corresponde a 25{,}00,m do diastímetro:
n = \frac{150{,}00}{25{,}00} = 6.

Passo 3

Determinar o erro em cada lance, que é a diferença entre o comprimento ao longo da rampa L e a projeção horizontal:
\Delta L_{\text{trecho}} = L - \sqrt{L^2 - v^2}.
Como v\ll L, usamos a aproximação pelo desenvolvimento em série de Taylor:
\sqrt{L^2 - v^2} \approx L\Bigl(1 - \frac{v^2}{2L^2}\Bigr) = L - \frac{v^2}{2L}.
Logo,
\Delta L_{\text{trecho}} \approx \frac{v^2}{2L}.

Passo 4

Substituir L=25{,}00,m e v=0,25,m:
v^2 = (0,25)^2 = 0{,}0625\quad\text{m}^2,
2L = 2\times25 = 50\quad\text{m},
\Delta L_{\text{trecho}} \approx \frac{0{,}0625}{50} = 0{,}00125\quad\text{m} = 1{,}25\text{ mm}.

Passo 5

O erro total é o somatório dos erros em cada um dos 6 lances:
\Delta L_{\text{total}} = n \times \Delta L_{\text{trecho}} = 6 \times 0{,}00125\\ \text{m} = 0{,}00750\\ \text{m} = 7{,}50\\ \text{mm}.

Resposta

7,50\text{ mm}

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