Como será modificada a velocidade de propagação de uma onda transversal em uma corda se a tensão for (a) dobrada, (b) reduzida à metade? De quanto a tensão deve ser mudada para a velocidade de propagação © dobrar, (d) reduzir à metade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas transversais em cordas. A pergunta quer saber como a velocidade de propagação dessas ondas muda quando a tensão da corda é alterada de certas maneiras. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre a tensão na corda e a velocidade da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a velocidade $ v $ de uma onda transversal em uma corda com a tensão $ T $ e a densidade linear de massa $ \mu $ (massa por unidade de comprimento):
v
Isso significa que a velocidade da onda depende da raiz quadrada da tensão dividida pela densidade linear de massa.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte do exercício:

(a) Se a tensão for dobrada

Se a tensão $ T $ for dobrada, ou seja, $ T_{novo} = 2T $, substituímos na fórmula:
T
Então, a velocidade aumenta por um fator de $ \sqrt{2} $.

(b) Se a tensão for reduzida à metade

Se a tensão for reduzida à metade, $ T_{novo} = \frac{T}{2} $:
Tnovo = 2T
Aqui, a velocidade diminui para $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ vezes a velocidade original.

© Para a velocidade dobrar

Queremos que $ v_{novo} = 2v $. Vamos encontrar a nova tensão $ T_{novo} $:
vnovo = raiz2Tmu = raiz2 cdot raizTmu = raiz2 cdot v
Portanto, a tensão deve ser quadruplada para que a velocidade dobre.

(d) Para a velocidade reduzir à metade

Aqui, queremos $ v_{novo} = \frac{v}{2} $:
raiz2
Assim, a tensão deve ser dividida por 4 para que a velocidade seja reduzida à metade.

Resposta

(a) A velocidade de propagação aumenta por um fator de $ \sqrt{2} $.
(b) A velocidade de propagação diminui para $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ vezes a velocidade original.
© A tensão deve ser quadruplicada (multiplicada por 4) para que a velocidade dobre.
(d) A tensão deve ser dividida por 4 para que a velocidade seja reduzida à metade.

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