Qual seria o período orbital se a Terra fosse substituida por uma estrela de massa igual à massa do Sol, em uma órbita circular, com a distância entre o Sol e a estrela igual à distância do Sol à Terra? (A massa do Sol é mais de 300.000 vezes a massa da Terra.)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Se a Terra fosse trocada por uma estrela de massa igual à do Sol, numa órbita circular à mesma distância que a Terra está (1 UA), qual seria o período orbital?”
Conteúdo: mecânica orbital—mais especificamente a Lei da Gravitação Universal de Newton e a Terceira Lei de Kepler (forma geral).
O que precisamos:
Conteúdo: mecânica orbital—mais especificamente a Lei da Gravitação Universal de Newton e a Terceira Lei de Kepler (forma geral).
O que precisamos:
- A distância entre os corpos, que é 1 UA.
- As massas: agora são Sol + “nova estrela” (que tem massa igual à do Sol), então M₁ + M₂ = 2 M☉.
- A constante gravitacional G e a fórmula que relaciona força gravitacional, força centrípeta e período.
Passo 2
Vamos lembrar da gravitação e do movimento circular:
- A força que mantém o corpo na órbita é a gravidade:
2) Num movimento circular uniforme, essa força é a força centrípeta:
onde é o período. - Igualando as duas:
Dá pra cancelare arrumar para :
Passo 3
No caso “normal” Terra–Sol,
(porque
é desprezível), e a gente sabe que isso dá
ano quando
UA.
Agora, como ambos os corpos têm massa , o total é
Agora, como ambos os corpos têm massa
Então o novo período
Compare com o caso original
.
Fica fácil ver que
Fica fácil ver que
Resposta
Substituindo
ano:
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