Qual seria o período orbital se a Terra fosse substituida por uma estrela de massa igual à massa do Sol, em uma órbita circular, com a distância entre o Sol e a estrela igual à distância do Sol à Terra? (A massa do Sol é mais de 300.000 vezes a massa da Terra.)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Se a Terra fosse trocada por uma estrela de massa igual à do Sol, numa órbita circular à mesma distância que a Terra está (1 UA), qual seria o período orbital?”
Conteúdo: mecânica orbital—mais especificamente a Lei da Gravitação Universal de Newton e a Terceira Lei de Kepler (forma geral).
O que precisamos:
  1. A distância entre os corpos, que é 1 UA.
  2. As massas: agora são Sol + “nova estrela” (que tem massa igual à do Sol), então M₁ + M₂ = 2 M☉.
  3. A constante gravitacional G e a fórmula que relaciona força gravitacional, força centrípeta e período.

Passo 2

Vamos lembrar da gravitação e do movimento circular:
  1. A força que mantém o corpo na órbita é a gravidade: Frm grav = G,M1,M2r^2
    2) Num movimento circular uniforme, essa força é a força centrípeta:
    Frm cent = M2,omega^2,r, omega = 2piP,onde G,M1,M2r^2 ;=; M2,(2pi)^2P^2,r é o período.
  2. Igualando as duas: P^2 = 4pi^2,r^3G,(M1 + M2)
    Dá pra cancelar e arrumar para :

Passo 3

No caso “normal” Terra–Sol, M1 + M2 = 2,Modot (porque P'^2 = 4pi^2,r^3G,(2,Modot) é desprezível), e a gente sabe que isso dá P' = Prm Terraraiz2 ano quando UA.
Agora, como ambos os corpos têm massa , o total é

Então o novo período satisfaz
Compare com o caso original .
Fica fácil ver que

Resposta

Substituindo ano:
$

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