Seria possível projetar uma lei de chaveamento resolvendo-se as LMIs do Teorema 1 do material “Projeto de Leis de Chaveamento para Subsistemas Lineares” para as matrizes a seguir? Justifique.
A1=[cc 0 & 10 0 & 0 ], A2=[cc 1.5 & 2 -2 & -0.5 ]
Obs: lembre-se que existe uma lei de chaveamento para este sistema como já visto em materiais anteriores!

Passo 1

O enunciado pede para verificar se dá para usar as LMIs do Teorema 1 (projeto de lei de chaveamento via função de Lyapunov quadrática comum) para os subsistemas
A1=0 & 100 &0, A2=1,5 & 2-2 & -0,5
O conteúdo é procura de uma matriz simétrica P>0 tal que
Ai^T P + P,Ai ;prec; 0, i=1,2
Se existir, temos uma lei de chaveamento estabilizadora comum.

Passo 2

Escrevemos com .
Para a LMI é
Para esta matriz ser definida negativa precisamos de
Além disso, força . Escolhendo, por exemplo,
vemos que , — opa, isso falha a positividade de . Mas podemos ajustar para , então
satisfaz , , e . Assim a LMI de é viável.

Passo 3

Agora testamos A2 com o mesmo P. Calculamos
A2^T P + P A2 =1,5&-22&-0,5 1&-1,5-1,5&3 + 1&-1,5-1,5&3 1,5&2-2&-0,5 =9&-3,5-3,5&-8
Para ser negativa-definida precisaríamos tr=-8+9=1<0, mas vemos que tr=1>0. Logo essa soma não é negativa-definida.

Passo 4

Como a escolha de P para A1 mostra que a LMI de A1 pode ser satisfeita, mas ao mesmo tempo qualquer P>0 que force A1^T P+P A1prec0 falha em tornar A2^T P+P A2prec0 (o traço deste termo para A2 fica sempre positivo para as faixas exigidas em P), concluímos que não existe P>0 que satisfaça ambas as LMIs simultaneamente.

Resposta

Não. As LMIs do Teorema 1 exigem a existência de uma função de Lyapunov quadrática comum ( P>0) tal que Ai^T P + P,Aiprec0 para i=1,2. Embora se possa achar P que funciona para A1, esse mesmo P (e qualquer outro viável para A1) não satisfaz a LMI de A2, pois o traço de A2^T P+P A2 permanece positivo. Portanto não há Lyapunov quadrático comum e não se pode usar as LMIs do Teorema 1 para projetar a lei de chaveamento.

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