Verifique se a série alternada converge usando o Teste das Séries Alternadas:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{2}}
e pede para verificar se ela converge usando o Teste das Séries Alternadas. As informações relevantes são:
  • O termo de sinal positivo (módulo) associado à alternância é b_n=\dfrac{1}{n^{2}}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n+1}.
  • A pergunta: aplicar o Teste das Séries Alternadas para concluir se a série converge.

Passo 2

Vou enunciar o Teste das Séries Alternadas (critério de Leibniz) de forma simples e explicar cada parte. Seja uma série da forma
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} b_n,
com b_n>0 para todo n. O teste diz que a série converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. b_n é monótona decrescente a partir de algum N; isto é, existe N tal que para todo n\ge N vale b_{n+1}\le b_n.
  2. \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Explicando por quê, de maneira intuitiva: os parciais formam uma sequência que “oscila” entre valores superiores e inferiores, e se as amplitudes b_n diminuem para zero essa oscilação se aperta e a sequência de parciais converge para um limite.
Aqui b_n será \dfrac{1}{n^{2}}. Nas próximas etapas verifico as duas condições com calma.

Passo 3

Verificação da primeira condição: positividade e monotonia de b_n.
  • Positividade: para todo n\ge1,
b_n=\frac{1}{n^{2}}>0,
porque o quadrado de n é positivo e o inverso de um número positivo é positivo.
  • Monotonia decrescente: preciso mostrar que, para todo n\ge1,
b_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}<\frac{1}{n^{2}}=b_n.
A demonstração é direta: para n\ge1 temos
(n+1)^{2}=n^{2}+2n+1>n^{2},
logo tomando recíprocos (a função x\mapsto 1/x é decrescente para x>0) vem
\frac{1}{(n+1)^{2}}<\frac{1}{n^{2}}.
Portanto (b_n) é estritamente decrescente.

Passo 4

Verificação da segunda condição: \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n =0.
Calcular o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.
Explicação simples: o denominador n^{2} cresce sem limite quando n\to\infty, então a fração tende a zero. Se preferir uma justificativa com comparação, para n\ge1 vale
0\le\frac{1}{n^{2}}\le\frac{1}{n},
e como \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0, pelo princípio do confronto obtemos \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0.

Passo 5

Aplicando o Teste das Séries Alternadas: como b_n=\dfrac{1}{n^{2}}>0 é decrescente e \lim_{n\to\infty}b_n=0, as duas hipóteses do teste estão satisfeitas. Logo a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{2}}
converge.

Passo 6

Observação adicional (útil para prova): verificar se a convergência é absoluta. Considere a série das magnitudes:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{2}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Esta é uma série p com p=2>1, e sabe-se (ou se pode justificar pelo teste da integral, por exemplo) que séries do tipo \sum 1/n^{p} convergem quando p>1. Portanto \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2} converge, o que implica que a série original converge absolutamente. Convergência absoluta é um resultado mais forte que convergência simples: toda série absolutamente convergente é convergente.

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova (dicas):
  • Sempre identifique b_n como o termo positivo associado à alternância.
  • Verifique duas coisas para o Teste das Séries Alternadas: (i) b_n\downarrow (eventualmente) e (ii) b_n\to0.
  • Se precisar, também teste a série de valores absolutos para ver se a convergência é absoluta (usar p‑séries, teste da integral, comparação, etc.).
  • Cuidado: \lim b_n=0 é necessário mas NÃO suficiente para convergência absoluta; é só uma das condições do teste alternado quando combinado com monotonia.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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