Resolva a equação diferencial dada em série de potências de
(em torno de
).
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear
e pede a solução por série de potências em torno de
.
Informações e objetivos claros:
Informações e objetivos claros:
- Queremos uma solução da forma em série centrada em
: , onde os são constantes a determinar. - Devemos obter a relação de recorrência entre os coeficientes
, calcular alguns coeficientes iniciais para ver o padrão e escrever a solução geral (com duas constantes livres).
Dados relevantes do enunciado: - A equação não contém termo
explícito. - Há singularidades aparentes em
(pois o coeficiente de anula aí); isso vai limitar o raio de convergência da série para .
Passo 2
Vamos assumir a série de potências e calcular as derivadas necessárias. Começo escrevendo:
Então, diferenciando termo a termo (valido dentro do raio de convergência):
Explico rapidamente a ideia: a derivada de
é
; ao derivar de novo aparecem os fatores
e a potência diminui em
. Isso é padrão ao trabalhar com séries de potências.
Passo 3
Substituo
e
na equação
. Escrevo separadamente os dois termos:
E já tenho
Agora junto tudo:
Passo 4
Coloco todas somas com a mesma potência de
. No primeiro somatório faço a mudança de índice
(então
) para obter potências
:
Observação: no segundo somatório podemos estendê-lo a
porque os termos
são nulos por fator
. Assim escrevo todas as somas com índice
começando em
:
Como a série é identicamente zero, os coeficientes de cada
devem ser zero. Assim obtemos a relação de recorrência:
Passo 5
A condição em cada ordem dá:
Isolando
:
onde usei a fatoração
e cancelei o fator
. Esta é a relação-chave: cada coeficiente pula dois índices ( conserva paridade ), de modo que os coeficientes pares dependem de
e os ímpares dependem de
.
Explicação didática: em problemas assim a recorrência que relaciona
com
é típica quando o operador não mistura paridade. Ter uma relação que conecta
com
significa que a solução se decompõe em uma parte par e uma ímpar, cada qual determinada por uma constante inicial (
e
).
Passo 6
Calculo alguns coeficientes iniciais explicitamente para ver o padrão.
Para a parte par (começando em
):
Para
:
Como
, a recorrência dá
,
etc. Portanto a série par truncará: os únicos coeficientes pares não nulos são
e
. Assim a solução par é um polinômio de grau
:
Verificação rápida (útil na prova): substituindo esse polinômio na equação original dá zero; logo é de fato uma solução.
Passo 7
Agora a parte ímpar (começando em
). Uso a recorrência com
ímpar: para
Para
Para
E assim por diante. Logo a solução ímpar em série começa por:
Passo 8
Posso escrever a fórmula de recorrência específica para os índices ímpares: se definirmos
então, do resultado anterior com
,
ou seja
A partir de
obtém-se explicitamente
com o produto vazio igual a
para
. Esta expressão dá os coeficientes ímpares em termos de
. Não é obrigatório simplificá-la mais para a prova; o importante é a recorrência e os primeiros termos.
Passo 9
Reescrevo a solução geral como combinação linear das duas soluções independentes (par e ímpar). Tomando constantes arbitrárias
e
, a solução geral em série é
Observações finais úteis para a prova:
- Essas séries convergem pelo menos para
porque os pontos singulares da equação estão em (o raio de convergência da série em torno de é a distância até a singularidade mais próxima). - A primeira solução é um polinômio de grau
; a segunda é uma série ímpar infinita. - Alternativa (se quiserem outra abordagem): sabendo uma solução
, pode-se aplicar redução de ordem para obter a segunda solução em forma integral:
e desenvolver o integral em série para recuperar os termos obtidos acima.