Determine o plano tangente a superfície \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superfície: r(u, v)=\left\langle u^{2}+1, v^{2}-1, u+v\right\rangle no ponto ( 2,0,2 ).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o plano tangente à superfície \mathbf{r}(u,v) no ponto \boldsymbol{P}_{0}=(2,0,2).
Informações dadas:
\mathbf{r}(u,v)=\left\langle u^{2}+1,\; v^{2}-1,\; u+v\right\rangle
e o ponto onde queremos o plano tangente é \boldsymbol{P}_{0}=(2,0,2).
Meta clara: achar a equação do plano tangente a essa superfície que passa por \boldsymbol{P}_{0}.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar os parâmetros (u_{0},v_{0}) tais que \mathbf{r}(u_{0},v_{0})=\boldsymbol{P}_{0}. Isso significa resolver o sistema
u^{2}+1=2,\qquad v^{2}-1=0,\qquad u+v=2.
Resolvo as duas primeiras equações:
u^{2}=1\implies u=\pm 1,\qquad v^{2}=1\implies v=\pm 1.
Agora verifico qual combinação de sinais satisfaz u+v=2. Se u=1 e v=1 então u+v=2, que é a condição desejada. As outras combinações dão soma 0 ou -2. Logo os parâmetros correspondentes ao ponto são
(u_{0},v_{0})=(1,1).

Passo 3

Explico o conceito usado: para uma superfície paramétrica \mathbf{r}(u,v), as derivadas parciais \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} são vetores tangentes à superfície nas direções dos parâmetros u e v. O plano tangente é o plano que contém esses dois vetores tangentes no ponto considerado. Um vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}. A equação do plano usando o vetor normal \mathbf{n} e o ponto \boldsymbol{P}_{0} é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{X}-\boldsymbol{P}_{0})=0,
onde \mathbf{X}=(x,y,z) é um ponto genérico do plano.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais de \mathbf{r}(u,v). Diferenciando componente a componente:
\mathbf{r}_{u}(u,v)=\left\langle \frac{\partial}{\partial u}(u^{2}+1),\;\frac{\partial}{\partial u}(v^{2}-1),\;\frac{\partial}{\partial u}(u+v)\right\rangle =\left\langle 2u,\;0,\;1\right\rangle,
\mathbf{r}_{v}(u,v)=\left\langle \frac{\partial}{\partial v}(u^{2}+1),\;\frac{\partial}{\partial v}(v^{2}-1),\;\frac{\partial}{\partial v}(u+v)\right\rangle =\left\langle 0,\;2v,\;1\right\rangle.

Passo 5

Avalio \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} no ponto (u_{0},v_{0})=(1,1):
\mathbf{r}_{u}(1,1)=\left\langle 2\cdot 1,\;0,\;1\right\rangle=\left\langle 2,\;0,\;1\right\rangle,
\mathbf{r}_{v}(1,1)=\left\langle 0,\;2\cdot 1,\;1\right\rangle=\left\langle 0,\;2,\;1\right\rangle.

Passo 6

Agora encontro o vetor normal calculando o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}(1,1)\times\mathbf{r}_{v}(1,1). Faço pela determinante:
\mathbf{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot 1-1\cdot 2)-\mathbf{j}(2\cdot 1-1\cdot 0)+\mathbf{k}(2\cdot 2-0\cdot 0).
Calculando cada componente:
\mathbf{n}=\langle -2,\; -2,\; 4\rangle.
Posso simplificar dividindo por 2 para deixar mais limpo:
\mathbf{n}=\langle -1,\; -1,\; 2\rangle.

Passo 7

Usando a equação do plano com normal \mathbf{n}=\langle -1,-1,2\rangle e ponto \boldsymbol{P}_{0}=(2,0,2), escrevo
\langle -1,-1,2\rangle\cdot\bigl\langle x-2,\; y-0,\; z-2\bigr\rangle=0.
Multiplicando escalarmente e simplificando (passo a passo):
-1\cdot (x-2) -1\cdot y +2\cdot (z-2)=0,
-(x-2)-y+2z-4=0,
-x+2-y+2z-4=0,
-x-y+2z-2=0.
Multiplicando por -1 para uma aparência tradicional,
x+y-2z+2=0.
Essa é a equação do plano tangente. Se preferir isolar z,
z=\frac{x+y+2}{2}.

Resposta

x+y-2z+2=0

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