Determine o plano tangente a superfície \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superfície: r(u, v)=\left\langle u^{2}+1, v^{2}-1, u+v\right\rangle no ponto ( 2,0,2 ).
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o plano tangente à superfície \mathbf{r}(u,v) no ponto \boldsymbol{P}_{0}=(2,0,2).
Informações dadas:
e o ponto onde queremos o plano tangente é \boldsymbol{P}_{0}=(2,0,2).
Meta clara: achar a equação do plano tangente a essa superfície que passa por \boldsymbol{P}_{0}.
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar os parâmetros (u_{0},v_{0}) tais que \mathbf{r}(u_{0},v_{0})=\boldsymbol{P}_{0}. Isso significa resolver o sistema
Agora verifico qual combinação de sinais satisfaz u+v=2. Se u=1 e v=1 então u+v=2, que é a condição desejada. As outras combinações dão soma 0 ou -2. Logo os parâmetros correspondentes ao ponto são
(u_{0},v_{0})=(1,1).
Passo 3
Explico o conceito usado: para uma superfície paramétrica \mathbf{r}(u,v), as derivadas parciais \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} são vetores tangentes à superfície nas direções dos parâmetros u e v. O plano tangente é o plano que contém esses dois vetores tangentes no ponto considerado. Um vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}. A equação do plano usando o vetor normal \mathbf{n} e o ponto \boldsymbol{P}_{0} é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{X}-\boldsymbol{P}_{0})=0,
onde \mathbf{X}=(x,y,z) é um ponto genérico do plano.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais de \mathbf{r}(u,v). Diferenciando componente a componente: