No lançamento de um dado honesto, em que a Variável Aleatória é a soma obtida nos dois dados defina a Distribuição da Função da Probabilidade.

Passo 1

O enunciado: lançam-se dois dados honestos (justos). A Variável Aleatória X é a soma das faces dos dois dados.
O que é pedido: definir a função de probabilidade (pmf) de X, isto é, dar P(X=k) para todos os valores possíveis de k.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{cada dado é justo, portanto cada face }1,\dots,6\text{ é igualmente provável;}ééá
\text{os resultados dos dois dados podem ser vistos como pares ordenados }(i,j)\text{ com }i,j\in\{1,\dots,6\}.
Não vamos resolver ainda; apenas identificamos o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

O que é a função de probabilidade (pmf) de uma variável aleatória discreta? Vou explicar devagarinho.
Uma variável aleatória discreta X tem uma pmf p_X que associa a cada possível valor k de X a probabilidade
p_X(k)=P(X=k).
Propriedades importantes da pmf:
p_X(k)\ge 0\quad\text{para todo }k
e
\sum_{k} p_X(k)=1,
onde a soma é sobre todos os valores possíveis de X. Essas são as regras que nossa resposta tem de obedecer.

Passo 3

Modelo dos experimentos elementares: cada lançamento dos dois dados corresponde a um par ordenado
\Omega=\{(i,j)\mid i\in\{1,\dots,6\},\; j\in\{1,\dots,6\}\}.
O número total de elementos em \Omega é 6\times6=36. Como os dados são justos e independentes, cada par (i,j) tem probabilidade
P\big((i,j)\big)=\frac{1}{36}.
A variável X é a soma: para um par (i,j), o valor observado é i+j.

Passo 4

Quais são os valores possíveis de X? Como i e j variam entre 1 e 6, a soma varia entre 1+1=2 e 6+6=12. Logo
\text{domínio de }X=\{2,3,\dots,12\}.í
Para cada k em \{2,\dots,12\} devemos contar quantos pares (i,j) satisfazem i+j=k. Vou explicar como contar de forma sistemática.

Passo 5

Contagem dos pares (i,j)\) com \(i+j=k\). Pense assim: para um dado valor \(k\), \(i\) pode ser \(1,2,\dots,6\), e \(j=k-i\) deve também ficar entre \(1\) e \(6\). O número de soluções inteiras \((i,j)\) com \(1\le i,j\le6\) é: - para \(k=2\) há apenas \((1,1)\), então 1 solução; - para \(k=3\) há \((1,2),(2,1)\), então 2 soluções; - continue aumentando: para \(k\) de \(2\) até \(7\) o número de soluções é \(k-1\) (porque \(i\) pode ser \(1,2,\dots,k-1\), todos válidos até \(k-1\le6\) quando \(k\le7\)); - para \(k>7\) começa a diminuir porque algumas escolhas de \(i\) dão \(j>6\); simetricamente, para \(k\) em \(\{8,9,10,11,12\}\) o número de soluções é \(13-k\). Em fórmula compacta: \[\text{número de pares que somam }k= \begin{cases} k-1,& k=2,3,4,5,6,7,\\[4pt] 13-k,& k=8,9,10,11,12. \end{cases}
Isso é fácil de verificar com alguns exemplos: para k=4\] temos \(k-1=3 soluções (1,3),(2,2),(3,1); para k=11 temos 13-11=2 soluções (5,6),(6,5).]

Passo 6

Agora convertemos essas contagens em probabilidades. Cada par tem probabilidade \tfrac{1}{36}, então
P(X=k)=\frac{\text{número de pares que somam }k}{36}.ú
Substituindo a fórmula da contagem obtemos a pmf em forma fechada:
\boxed{p_X(k)=P(X=k)= \begin{cases} \dfrac{k-1}{36},& k=2,3,4,5,6,7,\\[6pt] \dfrac{13-k}{36},& k=8,9,10,11,12,\\[4pt] 0,&\text{outros }k. \end{cases}}]

Passo 7

Vamos listar os valores explícitos (às vezes é o que o professor espera ver na prova). Simplificando as frações:
\begin{aligned} P(X=2)&=\dfrac{1}{36},\\\ P(X=3)&=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18},\\\ P(X=4)&=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12},\\\ P(X=5)&=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9},\\\ P(X=6)&=\dfrac{5}{36},\\\ P(X=7)&=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6},\\\ P(X=8)&=\dfrac{5}{36},\\\ P(X=9)&=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9},\\\ P(X=10)&=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12},\\\ P(X=11)&=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18},\\\ P(X=12)&=\dfrac{1}{36}. \end{aligned}

Passo 8

Verificação rápida: somando as contagens obtemos
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36,
logo somando as probabilidades \sum_k P(X=k)=36/36=1, como deve ser. Exemplo prático que já mostramos: P(X=4)=3/36=1/12 e os casos que dão soma 4 são (1,3),(2,2),(3,1).

Resposta

p_X(k)=P(X=k)= \begin{cases} \dfrac{k-1}{36},& k=2,3,4,5,6,7,\\[6pt] \dfrac{13-k}{36},& k=8,9,10,11,12,\\[4pt] 0,&\text{outros }k. \end{cases}
P(X=2)=\dfrac{1}{36},\;P(X=3)=\dfrac{1}{18},\;P(X=4)=\dfrac{1}{12},\;P(X=5)=\dfrac{1}{9},\;P(X=6)=\dfrac{5}{36},
P(X=7)=\dfrac{1}{6},\;P(X=8)=\dfrac{5}{36},\;P(X=9)=\dfrac{1}{9},\;P(X=10)=\dfrac{1}{12},\;P(X=11)=\dfrac{1}{18},\;P(X=12)=\dfrac{1}{36}.]

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