Soma da Série de Potências: Encontre a soma da seguinte série: sumn=0^infty(-1)^n x^2 n
36. Integral de uma série de potências: Encontre a integral da série:
$$
\int\left(\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}\right) d x
$$

Passo 1

Opa! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a integral de uma série de potências. A série que temos é:
integral(sumn=1^infty n x^n-1) dx
Vamos precisar entender sobre séries de potências e como integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que podemos trocar a ordem da integral e da soma. Isso significa que podemos integrar cada termo da série individualmente. Essa troca é válida quando a série converge de forma uniforme.
Então, temos:
integral(sumn=1^infty n x^n-1) dx = sumn=1^infty integral n x^n-1 dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo da série. A integral de integral n x^n-1 dx = n cdot x^nn = x^n em relação a sumn=1^infty x^n é:
Então, nossa série integrada fica:

Passo 4

Reconhecemos que essa é uma série geométrica. A soma de uma série geométrica sumn=1^infty x^n = x1 - x, para |x| < 1 é dada por:

Resposta

A integral da série é:
x1 - x + C, onde |x| < 1

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