Soma da Série de Potências: Encontre a soma da seguinte série:
36. Integral de uma série de potências: Encontre a integral da série:
$$
\int\left(\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}\right) d x
$$
36. Integral de uma série de potências: Encontre a integral da série:
$$
Passo 1
Opa! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a integral de uma série de potências. A série que temos é:
Vamos precisar entender sobre séries de potências e como integrar cada termo dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que podemos trocar a ordem da integral e da soma. Isso significa que podemos integrar cada termo da série individualmente. Essa troca é válida quando a série converge de forma uniforme.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo da série. A integral de
em relação a
é:
Então, nossa série integrada fica:
Passo 4
Reconhecemos que essa é uma série geométrica. A soma de uma série geométrica
é dada por:
Resposta
A integral da série é: