A série infinita apresentada na Equação 11.16 converge para o valor \lambda=\frac{\pi}{90} quando n \rightarrow \infty. Escreva um programa em Python para calcular a aproximação de f(n) com base em um número de iterações fornecido pelo usuário. Para cada iteração, calcule o erro relativo em relação ao valor exato de \lambda. Ao final, gere um gráfico que mostre a evolução do erro relativo ao longo das iterações.
f(n)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
f(n) = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{4}}
e comparar com o valor exato
\lambda = \frac{\pi^4}{90}\,,
calculando em cada iteração o erro relativo
\text{erro}_n = \left|\frac{f(n)-\lambda}{\lambda}\right|
e, por fim, plotar esse erro em função de n.

Passo 2

Abaixo está um programa em Python que:
  1. Lê do usuário o número de iterações N.
  2. Calcula progressivamente a soma parcial de 1/k^4.
  3. Armazena o erro relativo a cada passo.
  4. Gera um gráfico da evolução do erro relativo.
import math
import matplotlib.pyplot as plt

def \(compute_errors\)(N):
 \(lambda_exact\) = math.pi**4 / 90
\[partial_sum =0.0\]
 errors = []
 for k in range(1, N\(+1\)):
 \(partial_sum +=1.0\) / k**4
 err = abs((\(partial_sum\) - \(lambda_exact\)) / \(lambda_exact\))
 errors.append(err)
 return errors

def main():
 try:
 N = int(input("Digite o número de iterações N: "))
 if N < 1:
 raise ValueError("N deve ser maior que zero.")
 except ValueError as e:
 print("Entrada inválida:", e)
 return

 errors = \(compute_errors\)(N)
 plt.figure(figsize=(8,5))
 plt.semilogy(range(1, N\(+1\)), errors, marker='o', linestyle='-')
 plt.xlabel("Iteração \(n\)")
 plt.ylabel("Erro relativo")
 plt.title("Evolução do erro relativo em \(f(n) = \sum_{k=1}^n 1/k^4\)")
 plt.grid(True, which="both", ls="--")
 plt.\(tight_layout\)()
 plt.show()

if __name__ \(==\) "__main__":
 main()

Resposta

O programa acima lê o número de iterações, calcula em cada passo a soma parcial de 1/k^4, computa o erro relativo em relação a \lambda = \pi^4/90 e plota a evolução desse erro ao longo das iterações.

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