Considere a superfície quádrica definida por z=x^{2}+3 y^{2} e os planos x=1, z=1 e z=-1. Determine se cada um dos planos dados intercepta a superfície dada e, em caso positivo, identifique a curva obtida. Por fim, classifique a superfície quádrica.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quadricária
z = x^{2} + 3y^{2}
e pede para verificar a interseção dessa superfície com os planos x=1, z=1 e z=-1, identificando a curva obtida em cada caso, e por fim classificar a superfície quadricária. Vamos usar substituição da equação do plano na equação da superfície e interpretar o tipo de curva resultante.

Passo 2

Interseção com o plano x=1. Substituindo x=1 na equação da superfície, obtemos
z = (1)^{2} + 3y^{2} = 1 + 3y^{2}.
Isso define no plano x=1 uma curva dada por
z = 1 + 3y^{2},
que é uma parábola no plano vertical (y,z). Logo, o plano x=1 intercepta a superfície e a curva de interseção é uma parábola.

Passo 3

Interseção com o plano z=1. Substituindo z=1 na equação da superfície, obtemos
1 = x^{2} + 3y^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 3y^{2} = 1.
Essa é a equação de uma elipse no plano horizontal z=1, com semi-eixos a=1 (direção x) e b=\tfrac{1}{\sqrt{3}} (direção y). Portanto, o plano z=1 intercepta a superfície e a curva de interseção é uma elipse.

Passo 4

Interseção com o plano z=-1. Substituindo z=-1 na equação da superfície, obtemos
-1 = x^{2} + 3y^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 3y^{2} = -1.
Não há solução real, pois o lado esquerdo é não-negativo para todos x,y. Logo, o plano z=-1 não intercepta a superfície.

Passo 5

Classificação da superfície quadricária. A equação
z = x^{2} + 3y^{2}
corresponde a um paraboloide elíptico com eixo de revolução ao longo do eixo z, abrindo para z\to+\infty.

Resposta

Plano x=1: intercepta em uma parábola z=1+3y^{2}.
Plano z=1: intercepta em uma elipse x^{2}+3y^{2}=1.
Plano z=-1: não intercepta.
A superfície é um paraboloide elíptico.

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