Considere a superfície quádrica definida por
e os planos
e
. Determine se cada um dos planos dados intercepta a superfície dada e, em caso positivo, identifique a curva obtida. Por fim, classifique a superfície quádrica.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quadricária
e pede para verificar a interseção dessa superfície com os planos
,
e
, identificando a curva obtida em cada caso, e por fim classificar a superfície quadricária. Vamos usar substituição da equação do plano na equação da superfície e interpretar o tipo de curva resultante.
Passo 2
Interseção com o plano
. Substituindo
na equação da superfície, obtemos
Isso define no plano
uma curva dada por
que é uma parábola no plano vertical
. Logo, o plano
intercepta a superfície e a curva de interseção é uma parábola.
Passo 3
Interseção com o plano
. Substituindo
na equação da superfície, obtemos
Essa é a equação de uma elipse no plano horizontal
, com semi-eixos
(direção
) e
(direção
). Portanto, o plano
intercepta a superfície e a curva de interseção é uma elipse.
Passo 4
Interseção com o plano
. Substituindo
na equação da superfície, obtemos
Não há solução real, pois o lado esquerdo é não-negativo para todos
. Logo, o plano
não intercepta a superfície.
Passo 5
Classificação da superfície quadricária. A equação
corresponde a um paraboloide elíptico com eixo de revolução ao longo do eixo
, abrindo para
.
Resposta
Plano
: intercepta em uma parábola
.
Plano : intercepta em uma elipse
.
Plano : não intercepta.
A superfície é um paraboloide elíptico.
Plano
Plano
A superfície é um paraboloide elíptico.