Série de Potências: Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty (x-2)^nn 4^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o raio de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (x-2)^nn 4^n
Esse problema está dentro da matéria de séries de potências, que estuda até onde uma série assim converge, ou seja, para quais valores de a soma infinita dá um resultado finito. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se calcularmos o limite:
e se , a série converge; se , ela diverge; se , o teste não dá resposta.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, cada termo an = (x-2)^nn 4^n é:
an+1 = (x-2)^n+1(n+1) 4^n+1
Então, o próximo termo será:

Passo 4

Agora, calculamos a razão:
Simplificando os termos:
an+1an = (x-2)^n+1(n+1) 4^n+1(x-2)^nn 4^n = (x-2)^n+1 cdot n cdot 4^n(n+1) 4^n+1 cdot (x-2)^n

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (x-2) cdot n4 (n+1) | = limn to infty | (x-2)4 cdot nn+1 | tende ao infinito:
L = | x-24 |
Como tende a 1 quando cresce, temos:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que | x-24 | < 1 :
|x - 2| < 4
Resolvendo a desigualdade:

Passo 7

O raio de convergência R = 4 é o valor que multiplica na desigualdade de convergência, onde é o centro da série. Nesse caso, e temos:

Resposta

O raio de convergência da série é 4.

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