Para cada função, calcule f^prime(x) :
(i) ; f(x)=cos x cdot(x+cosec xe^x+tg x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=cos x cdotl(tfracx+csc xe^x+tan xr). Vamos usar as regras de derivação de produto, quociente e as derivadas das funções trigonométricas e exponencial.

Passo 2

Identificamos u(x)=cos x e v(x)=dfracx+csc xe^x+tan x. Pela regra do produto temos: f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x).
Derivando u(x)=cos x, lembrando que tfracddx(cos x)=-sin x, obtemos
u'(x)=-sin x

Passo 3

Para derivar v(x)=dfracA(x)B(x) definimos em bloco:
A(x)=x+csc x,
B(x)=e^x+tan x
Usaremos a regra do quociente: v'=dfracA'B-AB'B^2.
Calculamos as derivadas de A e B:
Derivada de A(x)=x+csc x é A'(x)=1-csc xcot x (pois d(csc x)=-csc xcot x).
Derivada de B(x)=e^x+tan x é B'(x)=e^x+sec^2 x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
v'(x)=l(1-csc xcot xr)(e^x+tan x)-(x+csc x)(e^x+sec^2 x)(e^x+tan x)^2

Passo 5

Substituímos u, u', v e v' na regra do produto:
f'(x)=-sin xcdotx+csc xe^x+tan x+cos xcdotl(1-csc xcot xr)(e^x+tan x)-(x+csc x)(e^x+sec^2 x)(e^x+tan x)^2
Esse é o resultado final da derivada, combinando produto e quociente sem deixar etapas de fora.

Resposta

f'(x)=-sin x,x+csc xe^x+tan x+cos x(e^x+tan x)^2l[(1-csc xcot x)(e^x+tan x)-(x+csc x)(e^x+sec^2 x)r]

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