A serie \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-2)^{n} converge para x=5 / 2. Podemos afirmar que a serie também converge para x=0 e para x=-5 / 2 ?
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em 2
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-2)^{n}
e afirma que ela converge para x=\tfrac{5}{2}.
As perguntas que precisamos responder são:
Podemos afirmar que a série também converge para x=0?
Podemos afirmar que a série também converge para x=-\tfrac{5}{2}?
Informações numéricas úteis (peguei diretamente do enunciado ao computar distâncias ao centro 2):
Distância de x=\tfrac{5}{2} ao centro 2: \bigl|\tfrac{5}{2}-2\bigr|=\tfrac{1}{2}.
Distância de x=0 ao centro 2: \bigl|0-2\bigr|=2.
Distância de x=-\tfrac{5}{2} ao centro 2: \bigl|-\tfrac{5}{2}-2\bigr|=\bigl|-\tfrac{9}{2}\bigr|=\tfrac{9}{2}.
Passo 2
Vou explicar o conceito-chave que vamos usar: o raio de convergência R de uma série de potências centrada em 2.
Definição/teorema (explicado de forma simples):
Existe um número R\in[0,+\infty] tal que a série \sum a_n(x-2)^n converge absolutamente para todos x com |x-2|<R e diverge para todos x com |x-2|>R. Para |x-2|=R (a fronteira) pode convergir ou divergir dependendo dos coeficientes.
com a convenção 1/0=+\infty e 1/\infty=0. Não precisa decorar a demonstração profunda agora, mas o que importa é a interpretação: conhecer um ponto onde a série converge dá uma informação mínima sobre R.
Passo 3
Derivação curta do que podemos concluir a partir da convergência em um ponto específico (a ideia do teste da raiz):
Se a série converge em x_1, então a série de termos a_n(x_1-2)^n tem seus termos tendendo a zero e, pelo teste da raiz, vale
\limsup_{n\to\infty} |a_n(x_1-2)^n|^{1/n}\le 1.
Mas \limsup_{n\to\infty} |a_n(x_1-2)^n|^{1/n} = |x_1-2|\cdot\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}.
Conclusão prática: se a série converge para um ponto x_1, então o raio de convergência satisfaz R\ge |x_1-2|.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: sabemos que a série converge em x_1=\tfrac{5}{2}, com |\tfrac{5}{2}-2|=\tfrac{1}{2}. Da propriedade acima obtemos
R\ge \tfrac{1}{2}.
Isto é tudo o que podemos garantir sobre R a partir da informação dada: o raio é pelo menos \tfrac{1}{2}, mas pode ser maior (até +\infty).
Agora compare as distâncias:
Para x=0 temos |0-2|=2. Como 2>\tfrac{1}{2}, o ponto x=0 está fora da bola |x-2|<\tfrac{1}{2}. Com a informação R\ge\tfrac{1}{2} não é possível concluir se 2<R (então convergiria) ou 2>R (então divergiria). Ou seja: a informação dada é insuficiente para afirmar convergência nem divergência em x=0.
Para x=-\tfrac{5}{2} temos \bigl|-\tfrac{5}{2}-2\bigr|=\tfrac{9}{2}. Como \tfrac{9}{2}>\tfrac{1}{2}, pelo mesmo raciocínio não é possível decidir a partir da única informação dada.
Passo 5
Para deixar mais claro — exemplos concretos que mostram as duas possibilidades (ou seja: saber que converge em \tfrac{5}{2} não decide o que ocorre em 0 ou em -\tfrac{5}{2}).
Exemplo que converte em \tfrac{5}{2} mas diverge em 0 e em -\tfrac{5}{2}:
Tome a_n=1 para todo n. A série torna-se
\sum_{n=0}^\infty (x-2)^n,
que é uma série geométrica com razão x-2. O raio de convergência é R=1. Assim, ela converge em x=\tfrac{5}{2} porque \bigl|\tfrac{5}{2}-2\bigr|=\tfrac{1}{2}<1, mas diverge em x=0 e em x=-\tfrac{5}{2} porque |0-2|=2>1 e \bigl|-\tfrac{5}{2}-2\bigr|=\tfrac{9}{2}>1.
Exemplo que converge em todos os pontos (em particular em 0 e em -\tfrac{5}{2}):
Tome a_n=\tfrac{1}{n!}. A série fica
\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-2)^n}{n!},
que é a série da função exponencial deslocada; seu raio de convergência é R=+\infty. Assim converge em \tfrac{5}{2}, em 0 e em -\tfrac{5}{2}.
Exemplo onde o raio é exatamente \tfrac{1}{2} mas a série converge em x=\tfrac{5}{2} (ponto de fronteira) e diverge fora:
Tome a_n=\dfrac{(-1)^n 2^n}{n+1}. Então \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=2, logo R=\tfrac{1}{2}. Em x=\tfrac{5}{2} os termos são \dfrac{(-1)^n 2^n}{n+1}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}, e a série \sum (-1)^n/(n+1) converge (série alternada). Já x=0 e x=-\tfrac{5}{2} ficam fora do disco |x-2|<\tfrac{1}{2} e, para este exemplo com R=\tfrac{1}{2}, divergem.
Esses exemplos mostram que, mesmo sabendo que a série converge em \tfrac{5}{2}, tanto a convergência quanto a divergência em 0 (e em -\tfrac{5}{2}) são possíveis dependendo dos coeficientes a_n.
Passo 6
Síntese final e linguagem direta (estímulo amigo): a informação dada — "a série converge em x=\tfrac{5}{2}" — só garante que o raio de convergência satisfaz R\ge \tfrac{1}{2}. Como os pontos x=0 e x=-\tfrac{5}{2} estão a distâncias 2 e \tfrac{9}{2} do centro 2, essas distâncias são maiores que \tfrac{1}{2}. Logo a informação é insuficiente para afirmar a convergência nesses pontos: dependendo dos coeficientes a série pode tanto convergir quanto divergir nesses pontos.
Resposta
x=0: Não é possível afirmar (a informação dada é insuficiente).
x=-\tfrac{5}{2}: Não é possível afirmar (a informação dada é insuficiente).