Use o método de série de potências para resolver a seguinte equação:
y^{\prime \prime}(x)+2 x y^{\prime}(x)-x y(x)=2 x e^{x}, y(0)=2 \text { e } y^{\prime}(0)=-1
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial com condições iniciais e pede a solução por série de potências centrada em 0. Vou listar claramente o que foi dado e o que se deve obter:
Equação diferencial:
y''(x)+2x\,y'(x)-x\,y(x)=2x\,e^{x}.
Condições iniciais:
y(0)=2,\qquad y'(0)=-1.
O que se pede: obter a solução y(x) escrita como série de potências (série de Maclaurin) e determinar os coeficientes usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro passo prático: suponho que a solução admite uma expansão em série de potências em torno de 0. Então escrevo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes desconhecidos a determinar. Agora escrevo as derivadas termwise (isso é válido para séries de potências dentro do raio de convergência):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{\,n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n},
Observe como alinhei as potências para obter coeficientes de x^n. Somando tudo e igualando ao lado direito, obtenho para cada n\ge 0:
(n+2)(n+1)a_{n+2} \;+\; \underbrace{2n a_n}_{\text{para }n\ge1,\\ \text{mas é }0\text{ quando }n=0} \;-\; \underbrace{a_{n-1}}_{\text{aparece só para }n\ge1} \;=\; \begin{cases} 0,& n=0,\\[4pt] \dfrac{2}{(n-1)!},& n\ge1. \end{cases}
Escrevendo isso de forma unificada para n\ge1\]:
\[(n+2)(n+1)a_{n+2}+2n a_n - a_{n-1}=\frac{2}{(n-1)!},\qquad n\ge1,\]
e para \(n=0 vem
2\cdot1\\ a_2=0\quad\Rightarrow\quad a_2=0.]
Passo 5
Agora uso as condições iniciais para fixar a_0 e a_1. Pela série,
y(0)=a_0=2,\qquad y'(0)=a_1=-1.
Já temos a_0=2,\\ a_1=-1,\\ a_2=0. A partir da relação recursiva, posso calcular todos os a_n sucessivamente.
Passo 6
Vou calcular explicitamente os primeiros coeficientes para ver o padrão e obter a aproximação inicial da solução. Uso a fórmula recursiva (para n\ge1):
Calculo do numerador: -10(-\tfrac{1}{4})=\tfrac{10}{4}=\tfrac{5}{2}, e \tfrac{1}{12}+\tfrac{2}{24}=\tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{1}{6}. Soma: \tfrac{5}{2}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{15}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{16}{6}=\tfrac{8}{3}. Logo
Essa relação permite calcular os coeficientes arbitrariamente (num processo puramente algébrico), e a série converge pelo teorema geral das séries de potências associadas a equações lineares analíticas (a solução é única e analítica em torno de 0).
Força aí — se quiser eu continuo gerando mais termos ou tento achar uma forma fechada (se existir) — mas para a prova normalmente a série (ou os primeiros termos mais a recorrência) é o que pedem.