Uma série é definida pelas equações , . Determine se converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita definida por:
para todo natural.
Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, soma tudo dá um número finito) ou diverge (a soma cresce sem limites). Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de séries, especificamente o Teste da Razão e o Teste da Raiz. Vamos passo a passo entender como aplicar esses testes aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os termos da série estão se comportando. A gente tem uma recorrência que define cada termo em função do anterior . Olhando para a fórmula:
Perceba que está sempre entre -1 e 1. Portanto, fica entre 1 e 3. Isso significa que o fator multiplicativo entre e varia de a .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries observando o limite da razão entre termos consecutivos:
Substituindo a relação dada:
L = limn to infty 2 + cos nraizn
Como L = 0 está entre 1 e 3, e cresce sem limites, o limite vai para 0:
Passo 4
De acordo com o Teste da Razão:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diz respeito.
Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , o que indica que a série converge absolutamente.
Passo 5
Para reforçar, vamos considerar o Teste da Raiz. Esse teste examina o limite da raiz enésima dos termos da série:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Com a nossa relação recorrente, podemos tentar expressar an = a1 prodk=1^n-1 2 + cos kraizk como um produto:
ln an = ln a1 + sumk=1^n-1 ln(2 + cos kraizk)
Tomando o logaritmo:
ln an = ln 2 + sumk=1^n-1 ( ln(2 + cos k) - 12 ln k )
Simplificando:
raiz[n]an approx 2raizn to 0 quando n to infty
Sabemos que está entre e . Então, o termo dominante é , o que faz com que diminua rapidamente. Portanto:
Esse limite zero reforça que , confirmando novamente que a série converge.