Dê a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0, indicando os intervalos de convergência.
f(x)=x \arctan (x)

Passo 1

O problema pede a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0 (ou seja, a série de Maclaurin) para
f(x)=x\arctan(x),
e também que eu indique os intervalos de convergência dessa série.
Informações dadas: a função f é x\arctan(x) e o centro é x_{0}=0. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): é mais direto obter a série de \arctan(x) a partir da série geométrica para 1/(1+u) com u=x^{2}, depois integrar termo a termo para chegar em \arctan(x) e finalmente multiplicar por x. Vou explicar cada passo com calma para você entender como fazer isso na prova.

Passo 3

Lembrando a série geométrica básica: para |u|<1 vale
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}.
Substituindo u por -u obtemos, para |u|<1,
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
Aqui u é a variável de expansão; a convergência é válida quando |u|<1.

Passo 4

Escolho u=x^{2}. Substituindo na série anterior, para |x^{2}|<1 (isto é, |x|<1) temos
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}.
Explicando: cada termo da soma é (-1)^{n}u^{n}=(-1)^{n}(x^{2})^{n}=(-1)^{n}x^{2n}.

Passo 5

Agora uso que \dfrac{d}{dx}\big(\arctan(x)\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Integrando ambos os lados em relação a x de 0 até x
\arctan(x)-\arctan(0)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Como \arctan(0)=0, isso reduz a \arctan(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^{2}}\,dt.

Passo 6

Posso integrar a série que obtivemos para \dfrac{1}{1+t^{2}} termo a termo dentro do intervalo de convergência |t|<1. Integrando \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n} de 0 até x obtemos, para |x|<1,
\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Explicando a integral de cada termo: \displaystyle\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}. A constante de integração ficou correta porque ambos os lados valem 0 em x=0.

Passo 7

Multiplico a série de \arctan(x) por x para obter f(x)=x\arctan(x). Para |x|<1,
x\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{2n+1}.
Opcionalmente, reindexando com k=n+1 (para ter potências x^{2k}) obtemos
x\arctan(x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^{2k}}{2k-1}.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que você achar mais confortável na prova.

Passo 8

Agora vou achar o raio/intervalo de convergência. Use o teste da razão na forma do termo geral a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+2}}{2n+1}:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =|x|^{2}\cdot\frac{2n+1}{2n+3}\xrightarrow[n\to\infty]{}|x|^{2}.
Para convergência pelo teste da razão precisamos de |x|^{2}<1, ou seja |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1.

Passo 9

Falta verificar os pontos na fronteira |x|=1, ou seja x=1 e x=-1.
  • Para x=1 a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1^{2n+2}}{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n+1},
que é uma série alternada com termos em módulo decrescentes tendendo a 0. Pelo critério de séries alternadas (Leibniz) essa série converge. O valor da soma é 1\cdot\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}.
  • Para x=-1 note que (-1)^{2n+2}=1, então a série também fica
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n+1},
a mesma série do caso x=1. Logo também converge, com soma (-1)\arctan(-1)=\dfrac{\pi}{4}. (Consistência: x\arctan(x) avaliado em \pm 1 \pm1\cdot(\pm\pi/4)=\pi/4.)
A convergência em ambos os extremos é condicional, não absoluta, porque a série dos valores absolutos é \sum 1/(2n+1), que diverge (comporta-se como a série harmônica).

Passo 10

Conclusão: a série de Maclaurin de f(x)=x\arctan(x) é
x\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{2n+1}=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^{2k}}{2k-1},
com raio de convergência 1 e intervalo de convergência [-1,1].

Resposta

x\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{2n+1}=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^{2k}}{2k-1}
Intervalo de convergência: [-1,1]

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