Dê a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0, indicando os intervalos de convergência. f(x)=x \arctan (x)
Passo 1
O problema pede a série de Taylor de f(x) centrada em x_{0}=0 (ou seja, a série de Maclaurin) para
f(x)=x\arctan(x),
e também que eu indique os intervalos de convergência dessa série.
Informações dadas: a função f é x\arctan(x) e o centro é x_{0}=0. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver ainda): é mais direto obter a série de \arctan(x) a partir da série geométrica para 1/(1+u) com u=x^{2}, depois integrar termo a termo para chegar em \arctan(x) e finalmente multiplicar por x. Vou explicar cada passo com calma para você entender como fazer isso na prova.
Passo 3
Lembrando a série geométrica básica: para |u|<1 vale
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}.
Substituindo u por -u obtemos, para |u|<1,
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
Aqui u é a variável de expansão; a convergência é válida quando |u|<1.
Passo 4
Escolho u=x^{2}. Substituindo na série anterior, para |x^{2}|<1 (isto é, |x|<1) temos
Como \arctan(0)=0, isso reduz a \arctan(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Passo 6
Posso integrar a série que obtivemos para \dfrac{1}{1+t^{2}} termo a termo dentro do intervalo de convergência |t|<1. Integrando \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n} de 0 até x obtemos, para |x|<1,
Explicando a integral de cada termo: \displaystyle\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}. A constante de integração ficou correta porque ambos os lados valem 0 em x=0.
Passo 7
Multiplico a série de \arctan(x) por x para obter f(x)=x\arctan(x). Para |x|<1,
que é uma série alternada com termos em módulo decrescentes tendendo a 0. Pelo critério de séries alternadas (Leibniz) essa série converge. O valor da soma é 1\cdot\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}.
Para x=-1 note que (-1)^{2n+2}=1, então a série também fica
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2n+1},
a mesma série do caso x=1. Logo também converge, com soma (-1)\arctan(-1)=\dfrac{\pi}{4}. (Consistência: x\arctan(x) avaliado em \pm 1 dá \pm1\cdot(\pm\pi/4)=\pi/4.)
A convergência em ambos os extremos é condicional, não absoluta, porque a série dos valores absolutos é \sum 1/(2n+1), que diverge (comporta-se como a série harmônica).
Passo 10
Conclusão: a série de Maclaurin de f(x)=x\arctan(x) é