Dê a série de Taylor da função
em torno
dado, indicando os raios de convergência:
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
centrada em
. Vamos usar a definição de Taylor em torno de
:
Para isso, precisamos calcular as derivadas de
e avaliar em
.
Passo 2
Como
é uma exponencial, suas derivadas são fáceis de ver por indução. De fato, para todo
Portanto, avaliando em
, temos
Passo 3
Substituindo na definição da série de Taylor, obtemos
Passo 4
Para determinar o raio de convergência, podemos usar o teste da razão nos coeficientes
Calculando
o que indica convergência para todo
x . Portanto, o raio de convergência é
R=infty .
Resposta
A série de Taylor de
f(x) em torno de
x0=3 é:
O raio de convergência é
R=infty .