Dê a série de Taylor da função f em torno x0 dado, indicando os raios de convergência:
f(x)=e^2 x, x0=3

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^2x centrada em x0=3. Vamos usar a definição de Taylor em torno de x0:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!(x-x0)^n
Para isso, precisamos calcular as derivadas de f e avaliar em x=3.

Passo 2

Como f(x)=e^2x é uma exponencial, suas derivadas são fáceis de ver por indução. De fato, para todo n>=0
f^(n)(x)=2^ne^2x
Portanto, avaliando em x=3, temos
f^(n)(3)=2^ne^6

Passo 3

Substituindo na definição da série de Taylor, obtemos
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(3)n!(x-3)^n =sumn=0^infty2^ne^6n!(x-3)^n

Passo 4

Para determinar o raio de convergência, podemos usar o teste da razão nos coeficientes
an=2^ne^6n!
Calculando
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty2^n+1/(n+1)!2^n/n!=limntoinfty2n+1=0,
o que indica convergência para todo x. Portanto, o raio de convergência é R=infty.

Resposta

A série de Taylor de f(x) em torno de x0=3 é:
sumn=0^infty2^ne^6n!(x-3)^n
O raio de convergência é R=infty.

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