Dê a série de Taylor da função f em torno x0 dado, indicando os raios de convergência:
f(x)=ln (x), x0=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=ln(x) em torno de x0=2. Vamos usar a definição de série de Taylor, que envolve calcular as derivadas de f no ponto 2, montar o termo geral e depois aplicar o teste da razão para achar o raio de convergência.

Passo 2

Calculamos algumas derivadas de f(x)=ln(x) para perceber um padrão:
f'(x)=x^-1,
f''(x)=-x^-2,
f'''(x)=2x^-3,

Em geral temos
f^(n)(x)=(-1)^n-1(n-1)!,x^-n

Passo 3

Avaliaremos essa fórmula no ponto x=2:
f^(n)(2)=(-1)^n-1,(n-1)!,/2^n

Passo 4

O termo geral da série de Taylor é
f^(n)(2)n!(x-2)^n=(-1)^n-1(n-1)!n!,2^n(x-2)^n=(-1)^n-1(x-2)^nn,2^n
Incluindo o termo n=0, que é f(2)=ln(2), obtemos:
ln(x)=ln(2)+sumn=1^infty(-1)^n-1(x-2)^nn,2^n

Passo 5

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em an=(-1)^n-1(x-2)^n/(n,2^n):
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|x-2|2cdotnn+1=|x-2|2
Converge se |x-2|/2<1, ou seja, |x-2|<2.

Resposta

ln(x)=ln(2)+sumn=1^infty(-1)^n-1(x-2)^nn,2^n
O raio de convergência é R=2.

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