Dê a série de Taylor da função em torno dado, indicando os raios de convergência:
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de em torno de . Vamos usar a definição de série de Taylor, que envolve calcular as derivadas de no ponto , montar o termo geral e depois aplicar o teste da razão para achar o raio de convergência.
Passo 2
Calculamos algumas derivadas de para perceber um padrão: , , ,
…
Em geral temos
Passo 3
Avaliaremos essa fórmula no ponto :
Passo 4
O termo geral da série de Taylor é
Incluindo o termo , que é , obtemos:
Passo 5
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em :