Utilizando as técnicas de integração que aprendemos, resolva as integrais.
integral 2 d x(x+2)(x-1)^2;

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral 2(x+2)(x-1)^2,dx. Como é uma função racional cujo denominador é fatorado, vamos usar decomposição em frações parciais para quebrar em termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

Escrevemos
2(x+2)(x-1)^2=Ax+2+Bx-1+C(x-1)^2
Multiplicando pelos denominadores temos
2 = A(x-1)^2 + B(x+2)(x-1) + C(x+2)
Expandindo e igualando coeficientes de x^2,x e termo constante obtemos o sistema
A + B = 0 -2A + B + C = 0 A - 2B + 2C = 2
Resolvendo, achamos A=tfrac29, B=-tfrac29 e C=tfrac23.

Passo 3

Agora integramos cada fração separadamente:
integral Ax+2,dx = Aln|x+2|, integral Bx-1,dx = Bln|x-1|, integral C(x-1)^2,dx = -Cx-1
Substituindo A,B,C e somando, a integral fica
29ln|x+2| - 29ln|x-1| - 2/3x-1 + C Simplificando o logaritmo, chegamos ao resultado final.

Resposta

29lnl|tfracx+2x-1r| - 23(x-1) + C

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