Dê a série de Taylor da função f em torno x0 dado, indicando os raios de convergência:
f(x)=x^4-3 x^2+1, x0=1

Passo 1

Temos a função f(x)=x^4-3x^2+1 e queremos a série de Taylor em torno de x0=1. O conteúdo aqui é expansão em série de Taylor de uma função real. Para resolver, vamos usar a definição de série de Taylor que envolve derivadas de f avaliadas em x0 e a fórmula geral

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de f e avaliamos em x0=1:
f(x)=x^4-3x^2+1, f'(x)=4x^3-6x, f''(x)=12x^2-6, f'''(x)=24x, f''''(x)=24
Substituindo x=1:
f(1)=-1, f'(1)=-2, f''(1)=6, f'''(1)=24, f''''(1)=24

Passo 3

Em seguida, escrevemos a fórmula geral da série de Taylor de ordem 4 em torno de x0=1:
f(x)= ,sumn=0^4f^(n)(1)n!(x-1)^n + R4(x)
Como f é um polinômio de grau 4, todas as derivadas de ordem maior que 4 são zero, logo o resto R4(x)=0.

Passo 4

Agora, substituímos os valores das derivadas na soma e simplificamos os coeficientes:
f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)2!(x-1)^2+f'''(1)3!(x-1)^3+f''''(1)4!(x-1)^4
= -1 -2(x-1) + 62(x-1)^2 + 246(x-1)^3 + 2424(x-1)^4
= -1 -2(x-1) +3(x-1)^2 +4(x-1)^3 + (x-1)^4

Passo 5

Por fim, como a série de Taylor resultou num polinômio de grau 4 sem termos infinitos, ela converge para todo xinR. Assim, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Taylor de f(x)=x^4-3x^2+1 em torno de x0=1 fica:
f(x)= -1 -2(x-1) +3(x-1)^2 +4(x-1)^3 + (x-1)^4
O raio de convergência é R=+infty.

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