Dê a série de Taylor da função
em torno
dado, indicando os raios de convergência:
Passo 1
Temos a função
e queremos a série de Taylor em torno de
. O conteúdo aqui é expansão em série de Taylor de uma função real. Para resolver, vamos usar a definição de série de Taylor que envolve derivadas de
avaliadas em
e a fórmula geral
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de
e avaliamos em
:
Substituindo
:
Passo 3
Em seguida, escrevemos a fórmula geral da série de Taylor de ordem 4 em torno de
:
Como
é um polinômio de grau 4, todas as derivadas de ordem maior que 4 são zero, logo o resto
.
Passo 4
Agora, substituímos os valores das derivadas na soma e simplificamos os coeficientes:
Passo 5
Por fim, como a série de Taylor resultou num polinômio de grau 4 sem termos infinitos, ela converge para todo
. Assim, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
fica:
O raio de convergência é
.