Dê a série de Taylor da função
em torno
dado, indicando os raios de convergência:
(a)
(b)
©
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede para a gente escrever a série de Taylor de quatro funções diferentes em torno de um ponto
dado e indicar o seu raio de convergência. O conteúdo principal é a definição de série de Taylor em torno de
:
Vamos usar essa fórmula e, quando possível, algum truque (como binomial ou expansão conhecida) para encontrar cada série.
Passo 2
Para o polinômio
em torno de
, calculamos as derivadas em 1:
e
para
. Montando a série:
Como é polinômio, o raio de convergência é
.
Passo 3
Para
em torno de
, usamos a expansão padrão de
com
:
o que dá
Essa expansão converge para
, ou seja, raio de convergência
.
Passo 4
Para
em torno de
, escrevemos
ou seja
Como exponencial tem raio de convergência
, esse também é
.
Passo 5
Para
em torno de
, usamos a fórmula binomial geral:
Como
,
A série binomial converge para
, então o raio de convergência é
.
Resposta
(a)
, raio de convergência
.
(b)
, raio de convergência
.
©
, raio de convergência
.
(d)
, raio de convergência
.