Dê a série de Taylor da função f em torno x0 dado, indicando os raios de convergência:
(a) f(x)=x^4-3 x^2+1, x0=1
(b) f(x)=ln (x), x0=2
© f(x)=e^2 x, x0=3
(d) f(x)=raizx, x0=16.

Passo 1

O enunciado pede para a gente escrever a série de Taylor de quatro funções diferentes em torno de um ponto x0 dado e indicar o seu raio de convergência. O conteúdo principal é a definição de série de Taylor em torno de x0:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!(x-x0)^n
Vamos usar essa fórmula e, quando possível, algum truque (como binomial ou expansão conhecida) para encontrar cada série.

Passo 2

Para o polinômio f(x)=x^4-3x^2+1 em torno de x0=1, calculamos as derivadas em 1:
f(1)=-1,
f'(x)=4x^3-6ximplies f'(1)=-2,
f''(x)=12x^2-6implies f''(1)=6,
f'''(x)=24ximplies f'''(1)=24,
f^(4)(x)=24implies f^(4)(1)=24,
e f^(n)(1)=0 para n>=5. Montando a série:
f(x)=sumn=0^4f^(n)(1)n!(x-1)^n=-1-2(x-1)+3(x-1)^2+4(x-1)^3+(x-1)^4
Como é polinômio, o raio de convergência é infty.

Passo 3

Para f(x)=ln(x) em torno de x0=2, usamos a expansão padrão de ln(a+u) com u=x-2:
ln(x)=ln(2+u)=ln(2)+sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn,2^n,
o que dá
ln(x)=ln(2)+sumn=1^infty(-1)^n-1(x-2)^nn,2^n
Essa expansão converge para |u|<2, ou seja, raio de convergência 2.

Passo 4

Para f(x)= e^2x em torno de x0=3, escrevemos
e^2x= e^2cdot3 e^2(x-3)= e^6sumn=0^infty[2(x-3)]^nn!
ou seja
e^2x= e^6sumn=0^infty2^nn!(x-3)^n
Como exponencial tem raio de convergência infty, esse também é infty.

Passo 5

Para f(x)=raizx=x^1/2 em torno de x0=16, usamos a fórmula binomial geral:
raizx=(16+(x-16))^1/2=16^1/2sumn=0^inftybinom1/2nl(x-1616r)^n
Como 16^1/2=4,
raizx=4sumn=0^inftybinom1/2nl(x-1616r)^n
A série binomial converge para |x-16|<16, então o raio de convergência é 16.

Resposta

(a) f(x)=-1-2(x-1)+3(x-1)^2+4(x-1)^3+(x-1)^4, raio de convergência infty.
(b) ln(x)=ln(2)+sumn=1^infty(-1)^n-1(x-2)^nn,2^n, raio de convergência 2.
© e^2x= e^6sumn=0^infty2^nn!(x-3)^n, raio de convergência infty.
(d) raizx=4sumn=0^inftybinom1/2nl(x-1616r)^n, raio de convergência 16.

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