A série de Taylor em torno de 0 da funçāo
é
Determine a soma da série numérica
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de Taylor da função seno, que é uma maneira de escrever o seno como uma soma infinita. O exercício pede para a gente encontrar a soma da série numérica
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a série de Taylor e como podemos manipular essa série para encontrar a soma desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor do
:
Essa série nos mostra que o seno de
pode ser representado como uma soma infinita envolvendo potências de
e fatorias.
Passo 3
Agora, olhemos para a série que queremos somar:
Perceba que isso se parece muito com a série de
, mas com algumas diferenças. Vamos tentar relacionar as duas.
Passo 4
Observe que
pode ser escrito como
. Então nossa série fica:
Isso nos ajuda a ver uma relação mais clara com a série de
.
Passo 5
Vamos agora tentar ajustar a série de
para se parecer com a que queremos somar. Se substituirmos
por
, teremos:
Simplificando a potência:
Passo 6
Agora, vamos comparar as duas séries:
Nossa série alvo:
Série de
:
Percebemos que a nossa série é exatamente a série de
multiplicada por
, já que a nossa série tem
no denominador e a série do seno tem
.
Passo 7
Então, podemos escrever:
Passo 8
Finalmente, para encontrar o valor numérico, calculamos
. Usando uma calculadora:
Então:
Resposta
A soma da série numérica
é aproximadamente
.