A série de Taylor em torno de 0 da funçāo sin (x) é
sin (x)=sumn=0^infty (-1)^n(2 n+1)! x^2 n+1
Determine a soma da série numérica sumn=0^infty (-1)^n4^n(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de Taylor da função seno, que é uma maneira de escrever o seno como uma soma infinita. O exercício pede para a gente encontrar a soma da série numérica sumn=0^infty (-1)^n4^n(2n+1)!. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a série de Taylor e como podemos manipular essa série para encontrar a soma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor do sin(x):
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^2n+1
Essa série nos mostra que o seno de x pode ser representado como uma soma infinita envolvendo potências de x e fatorias.

Passo 3

Agora, olhemos para a série que queremos somar:
sumn=0^infty (-1)^n4^n(2n+1)!
Perceba que isso se parece muito com a série de sin(x), mas com algumas diferenças. Vamos tentar relacionar as duas.

Passo 4

Observe que 4^n pode ser escrito como (2^2)^n = 2^2n. Então nossa série fica:
sumn=0^infty (-1)^n2^2n(2n+1)!
Isso nos ajuda a ver uma relação mais clara com a série de sin(x).

Passo 5

Vamos agora tentar ajustar a série de sin(x) para se parecer com a que queremos somar. Se substituirmos x por 12, teremos:
sin(12) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! (12)^2n+1
Simplificando a potência:
sin(12) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! 12^2n+1

Passo 6

Agora, vamos comparar as duas séries:
Nossa série alvo:
sumn=0^infty (-1)^n2^2n(2n+1)!
Série de sin(12):
sumn=0^infty (-1)^n2^2n+1(2n+1)!
Percebemos que a nossa série é exatamente a série de sin(12) multiplicada por 2, já que a nossa série tem 2^2n no denominador e a série do seno tem 2^2n+1.

Passo 7

Então, podemos escrever:
sumn=0^infty (-1)^n2^2n(2n+1)! = 2 cdot sin(12)

Passo 8

Finalmente, para encontrar o valor numérico, calculamos 2 cdot sin(12). Usando uma calculadora:
sin(12) approx 0.479425
Então:
2 cdot 0.479425 approx 0.95885

Resposta

A soma da série numérica sumn=0^infty (-1)^n4^n(2n+1)! é aproximadamente 0.95885.

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