A série de Taylor em torno de 0 da funçāo sin (x) é
sin (x)=sumn=0^infty (-1)^n(2 n+1)! x^2 n+1
Determine o domínio de convergência da série dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que nos apresenta a série de Taylor da função sin(x) em torno de 0, que é dada por
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^2n+1
O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio de convergência dessa série, ou seja, para quais valores de x essa série realmente soma até sin(x). Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde uma série infinita converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos de uma série. Se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Então, vamos aplicar isso à nossa série. O termo geral da série é:
an = (-1)^n(2n+1)! x^2n+1
Precisamos calcular o limite da razão | an+1an | quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular essa razão passo a passo:
| an+1an | = | (-1)^n+1(2(n+1)+1)! x^2(n+1)+1 (-1)^n(2n+1)! x^2n+1 |
Simplificando os sinais e os fatores:
= | (-1)^n+1 cdot x^2n+3 (2n+3)! cdot (2n+1)! (-1)^n cdot x^2n+1 |
Os termos (-1)^n+1 e (-1)^n se cancelam deixando -1, mas como estamos tomando o valor absoluto, isso vira apenas 1. Também simplificamos as potências de x:
= | x^2n+3 (2n+3)! cdot (2n+1)! x^2n+1 | = | x^2 (2n+3)(2n+2) |

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | x^2 (2n+3)(2n+2) |
Observando que o denominador cresce como n^2, enquanto o numerador é constante em relação a n, o limite será:
limn to infty x^2 4n^2 + 10n + 6 = 0

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, se o limite L da razão | an+1an | for menor que 1, a série converge. No nosso caso, o limite L = 0, que é definitivamente menor que 1, para qualquer valor de x.

Resposta

Portanto, o domínio de convergência da série é todos os números reais, ou seja, para todo x in R.

Exercícios relacionados