Determine o domínio de convergência da série dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que nos apresenta a série de Taylor da função em torno de 0, que é dada por
O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio de convergência dessa série, ou seja, para quais valores de essa série realmente soma até . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde uma série infinita converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos de uma série. Se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Então, vamos aplicar isso à nossa série. O termo geral da série é:
Precisamos calcular o limite da razão quando n tende ao infinito.
Os termos (-1)^n+1 e (-1)^n se cancelam deixando -1, mas como estamos tomando o valor absoluto, isso vira apenas 1. Também simplificamos as potências de x:
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | x^2 (2n+3)(2n+2) |
Observando que o denominador cresce como n^2, enquanto o numerador é constante em relação a n, o limite será:
limn to infty x^2 4n^2 + 10n + 6 = 0
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, se o limite L da razão | an+1an | for menor que 1, a série converge. No nosso caso, o limite L = 0, que é definitivamente menor que 1, para qualquer valor de x.
Resposta
Portanto, o domínio de convergência da série é todos os números reais, ou seja, para todo x in R.