Série com Teste da Comparação Limite. Aplique o Teste da Comparação por Limite para verificar a convergência ou divergência da seguinte série:
27. Considere a função
a) Expandir a função
em uma série de potências.
27. Considere a função
a) Expandir a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expandir a função
em uma série de potências. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, onde expressamos funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Para isso, vamos utilizar a série de Taylor da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, lembraremos da série de Taylor para a função exponencial
. A série de potências de
centrada em 0 (série de Maclaurin) é dada por:
Isso significa que podemos escrever
como a soma infinita de
para
indo de 0 ao infinito.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a série de potências para
. Vamos fazer uma substituição simples na série de
. Substituímos
por
na série de Taylor:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Portanto, a série fica:
Passo 5
Então, a série de potências para
é:
Resposta
A expansão da função
em uma série de potências é: