Série com Teste da Comparação Limite. Aplique o Teste da Comparação por Limite para verificar a convergência ou divergência da seguinte série: sumn=1^infty 3 n^2+2n^4+5 n^2
27. Considere a função e^x2
a) Expandir a função e^x2 em uma série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expandir a função em uma série de potências. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, onde expressamos funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para isso, vamos utilizar a série de Taylor da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, lembraremos da série de Taylor para a função exponencial e^x = sumn=0^infty x^nn! . A série de potências de centrada em 0 (série de Maclaurin) é dada por:
Isso significa que podemos escrever como a soma infinita de para indo de 0 ao infinito.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a série de potências para e^x2 = sumn=0^infty ( x2 )^nn! . Vamos fazer uma substituição simples na série de . Substituímos por na série de Taylor:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
( x2 )^n = x^n2^n
Portanto, a série fica:
e^x2 = sumn=0^infty x^n2^n cdot n!

Passo 5

Então, a série de potências para e^x2 = sumn=0^infty x^n2^n cdot n! é:

Resposta

A expansão da função e^x2 = sumn=0^infty x^n2^n cdot n! em uma série de potências é:

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