Determinação do Raio de Convergência: Encontre o raio de convergência da seguinte série de potências:
31. Encontre a Função Geradora da Série: Determine a função geradora para a seguinte série de potências:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}
$$
31. Encontre a Função Geradora da Série: Determine a função geradora para a seguinte série de potências:
$$
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que você me enviou! O problema pede para encontrarmos a função geradora da seguinte série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo tem a forma de uma potência de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas séries se comportam e como podemos representá-las de forma fechada, ou seja, usando uma função que resuma toda a série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos:
Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por
. As séries geométricas são bastante conhecidas e têm uma fórmula para somar todos os seus termos, desde que a razão
esteja dentro de um certo intervalo.
Passo 3
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Essa fórmula é válida desde que
. No nosso caso,
, então a série converge quando
.
Passo 4
Aplicando essa fórmula à nossa série, temos:
Isso significa que a função geradora da nossa série é
.
Resposta
A função geradora da série
é: