Determinação do Raio de Convergência: Encontre o raio de convergência da seguinte série de potências: sumn=1^infty 2^n x^nn
31. Encontre a Função Geradora da Série: Determine a função geradora para a seguinte série de potências:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}
$$

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que você me enviou! O problema pede para encontrarmos a função geradora da seguinte série de potências:
sumn=0^infty x^n
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo tem a forma de uma potência de . Para resolver isso, vamos precisar entender como essas séries se comportam e como podemos representá-las de forma fechada, ou seja, usando uma função que resuma toda a série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos:
sumn=0^infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + dots
Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por . As séries geométricas são bastante conhecidas e têm uma fórmula para somar todos os seus termos, desde que a razão esteja dentro de um certo intervalo.

Passo 3

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
sumn=0^infty r^n = 11 - r
Essa fórmula é válida desde que . No nosso caso, , então a série converge quando .

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa série, temos:
sumn=0^infty x^n = 11 - x, para |x| < 1
Isso significa que a função geradora da nossa série é .

Resposta

A função geradora da série 11 - x, para |x| < 1 é:

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