Integral de uma série de potências: Encontre a integral da série: integral(sumn=1^infty n x^n-1) d x
37. Resolução de equação diferencial por Série de Potências:
Obter a solução de y^prime prime(x)+y(x)=0 por série de potências
Vamos resolver a equação diferencial:
$$
y^{\prime \prime}+y=0
$$
com as condições iniciais y^prime prime+y=0 e y(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial usando séries de potências. Isso significa que vamos expressar a solução como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para isso, precisamos entender como séries de potências funcionam e como aplicá-las para resolver equações diferenciais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que a gente precisa encontrar. Esse tipo de representação é útil porque facilita a manipulação matemática, especialmente ao lidar com derivadas.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 . A primeira derivada y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 é:
E a segunda derivada é:
Essas derivadas vão entrar na equação diferencial que queremos resolver.

Passo 4

Substituímos sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 + sumn=0^infty an x^n = 0 e sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + sumn=0^infty an x^n = 0 na equação diferencial :
Para facilitar, vamos alinhar os índices das somas. Vamos fazer uma mudança de índice na primeira soma, substituindo por :

Passo 5

Agora, somamos as duas séries:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 + an ] x^n = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo (n+2)(n+1) an+2 + an = 0 para todo n >= 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Ou seja:

Passo 6

Resolvemos agora a relação de recorrência:
an+2 = -an(n+2)(n+1)
Essa relação nos permite encontrar os coeficientes em termos de . A gente precisa de condições iniciais para começar a calcular os coeficientes.

Passo 7

As condições iniciais são y(0) = sumn=0^infty an cdot 0^n = a0 = 1 e y'(0) = sumn=1^infty n an cdot 0^n-1 = a1 = 0 . Vamos aplicar essas condições para encontrar e :
  • Para :
  • Para :
Então, e .

Passo 8

Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes:
Para a2 = -a02 cdot 1 = -12 :
a3 = -a13 cdot 2 = 0
Para a4 = -a24 cdot 3 = --1212 = 124 :
Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem ímpar são zero, e os de ordem par seguem uma certa relação.

Passo 9

Percebemos que a série resultante se assemelha à expansão em série de potências da função cosseno. De fato, a solução geral da equação diferencial y(x) = cos(x) é:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Podemos verificar que a série de potências que encontramos corresponde justamente à expansão de :

Resposta

A solução da equação diferencial y(x) = cos(x) com as condições iniciais e é:

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