Integral de uma série de potências: Encontre a integral da série:
37. Resolução de equação diferencial por Série de Potências:
Obter a solução de
por série de potências
Vamos resolver a equação diferencial:
$$
y^{\prime \prime}+y=0
$$
com as condições iniciais
e
.
37. Resolução de equação diferencial por Série de Potências:
Obter a solução de
Vamos resolver a equação diferencial:
$$
com as condições iniciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial
usando séries de potências. Isso significa que vamos expressar a solução
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para isso, precisamos entender como séries de potências funcionam e como aplicá-las para resolver equações diferenciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui,
são os coeficientes que a gente precisa encontrar. Esse tipo de representação é útil porque facilita a manipulação matemática, especialmente ao lidar com derivadas.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada
é:
E a segunda derivada
é:
Essas derivadas vão entrar na equação diferencial que queremos resolver.
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial
:
Para facilitar, vamos alinhar os índices das somas. Vamos fazer uma mudança de índice na primeira soma, substituindo
por
:
Passo 5
Agora, somamos as duas séries:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Ou seja:
Passo 6
Resolvemos agora a relação de recorrência:
Essa relação nos permite encontrar os coeficientes
em termos de
. A gente precisa de condições iniciais para começar a calcular os coeficientes.
Passo 7
As condições iniciais são
e
. Vamos aplicar essas condições para encontrar
e
:
- Para
:
- Para
:
Então,
e
.
Passo 8
Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem ímpar são zero, e os de ordem par seguem uma certa relação.
Passo 9
Percebemos que a série resultante se assemelha à expansão em série de potências da função cosseno. De fato, a solução geral da equação diferencial
é:
Podemos verificar que a série de potências que encontramos corresponde justamente à expansão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial
com as condições iniciais
e
é: