Série com Teste da Comparação Limite. Aplique o Teste da Comparação por Limite para verificar a convergência ou divergência da seguinte série:
sumn=1^infty 3 n^2+2n^4+5 n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teste da Comparação por Limite para ver se a série
sumn=1^infty 3 n^2+2n^4+5 n^2
converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar duas séries para chegar na conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série para entender melhor o comportamento quando 3n^2n^4 = 3n^2 fica muito grande. No numerador, temos e no denominador . Quando cresce, os termos com maior potência dominam, então podemos considerar aproximadamente:
Isso nos dá uma ideia de qual série comparativa podemos usar.

Passo 3

Vamos escolher a série comparativa . Essa é uma série p com , e sabemos que séries com convergem.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Comparação por Limite. Calculamos o limite:
limn to infty 3n^2 + 2n^4 + 5n^21n^2 = limn to infty 3n^2 + 2n^4 + 5n^2 cdot n^2 = limn to infty 3n^4 + 2n^2n^4 + 5n^2
Dividindo todos os termos por limn to infty 3 + 2n^21 + 5n^2 = 3 + 01 + 0 = 3 :
O limite é um número finito positivo ( ).

Passo 5

Segundo o Teste da Comparação por Limite, se o limite é um número finito positivo e a série comparativa converge, então a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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