Série com Teste da Comparação Limite. Aplique o Teste da Comparação por Limite para verificar a convergência ou divergência da seguinte série:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teste da Comparação por Limite para ver se a série
converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar duas séries para chegar na conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da série para entender melhor o comportamento quando
fica muito grande. No numerador, temos
e no denominador
. Quando
cresce, os termos com maior potência dominam, então podemos considerar aproximadamente:
Isso nos dá uma ideia de qual série comparativa podemos usar.
Passo 3
Vamos escolher a série comparativa
. Essa é uma série p com
, e sabemos que séries
com
convergem.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Comparação por Limite. Calculamos o limite:
Dividindo todos os termos por
:
O limite é um número finito positivo (
).
Passo 5
Segundo o Teste da Comparação por Limite, se o limite é um número finito positivo e a série comparativa
converge, então a série original também converge.
Resposta
A série
converge.