Para cada função, calcule f^prime(x) :
(e) ; f(x)=(e^x+x^7x^-2-5 x^-1) cdot(e^x-7)

Passo 1

A função é dada por
Temos
f(x)=u(x)cdot v(x),
onde
u(x)=e^x + x^7x^-2 - 5x^-1,
e
v(x)=e^x - 7
O conteúdo envolvido é derivada de produto (regra do produto) e de quociente (regra do quociente), além das derivadas básicas de e^x e de potências x^n.

Passo 2

Vamos começar derivando v(x). Como v(x)=e^x-7, aplicando a derivada de e^x e lembrando que 7 é constante, obtemos
v'(x)=e^x

Passo 3

Agora vamos derivar u(x) usando a regra do quociente. Defina:
N(x)=e^x + x^7,
D(x)=x^-2 - 5x^-1
Suas derivadas são
N'(x)=e^x + 7x^6,
D'(x)=-2x^-3 +5x^-2
Então, pela regra do quociente,
u'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2 =(e^x+7x^6)(x^-2-5x^-1) - (e^x+x^7)(-2x^-3+5x^-2)(x^-2-5x^-1)^2

Passo 4

Por fim, aplicamos a regra do produto em f(x)=u(x)v(x). Ficamos com
f'(x)=u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo u'(x), v(x), u(x) e v'(x), temos
f'(x)=(e^x+7x^6)(x^-2-5x^-1) - (e^x+x^7)(-2x^-3+5x^-2)(x^-2-5x^-1)^2cdot(e^x-7) +e^x + x^7x^-2-5x^-1cdot e^x

Resposta

f'(x)=(e^x+7x^6)(x^-2-5x^-1) - (e^x+x^7)(-2x^-3+5x^-2)(x^-2-5x^-1)^2,(e^x-7) +e^x + x^7x^-2-5x^-1,e^x

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