Em um sistema de condutos em paralelo, o que podemos afirmar sobre a perda de carga entre os nós inicial e final para cada um dos ramos?

Passo 1

O enunciado pergunta, em um sistema de condutos ligados em paralelo entre um mesmo nó inicial e um mesmo nó final, o que podemos afirmar sobre a perda de carga nos diferentes ramos.
Informações relevantes:
  • Há vários ramos (condutos) conectando exatamente os mesmos dois nós (mesma posição do nó inicial e mesma posição do nó final).
  • Quer-se uma afirmação sobre a perda de carga (cabeça perdida) entre esses dois nós para cada ramo.

Passo 2

Vamos usar a forma energética (Bernoulli/energia) entre os dois mesmos nós. Defina a cabeça piezométrica no nó inicial por H_1 e no nó final por H_2, onde
H = z + \frac{p}{\gamma},
com z = cota, p = pressão e \gamma = peso específico do fluido. A perda de carga ao longo do ramo i é chamada de h_{L,i}. Aplicando a equação de energia entre os mesmos nós seguindo o ramo i (em escoamento permanente, incompressível, com as correções de velocidade agrupadas se necessário), obtém-se a relação geral:
H_1 = H_2 + h_{L,i}.

Passo 3

Como os nós inicial e final são os mesmos para todos os ramos, H_1 é o mesmo para qualquer ramo e H_2 também é o mesmo para qualquer ramo. Logo, da equação do passo anterior segue que
h_{L,i} = H_1 - H_2 \quad\text{independente de }i.
Portanto todos os ramos têm a mesma perda de carga entre esses dois nós:
h_{L,1}=h_{L,2}=\cdots = H_1-H_2.

Passo 4

Consequências práticas (explicando a matéria para usar em prova):
  • As vazões em cada ramo se ajustam de modo que a perda de carga comum seja satisfeita por cada ramo. Ou seja, cada ramo terá uma vazão Q_i tal que sua relação característica entre perda de carga e vazão seja atendida para o mesmo valor de h_L.
  • Para muitos modelos de perda de carga por atrito pode-se escrever, de forma geral,
h_{L,i} = R_i\, Q_i^{\,n},
onde R_i representa a “resistência hidráulica” do ramo i (depende de comprimento, diâmetro, rugosidade etc.) e n é um expoente que depende do regime:
  • para escoamento laminar em tubo longo (Hagen–Poiseuille) costuma-se ter n=1;
  • para uso prático com a fórmula de Darcy–Weisbach e escoamentos turbulentos a dependência costuma ser aproximadamente n=2 (porque h_L\propto V^2 e Q\propto V).
  • Dado h_L comum, obtém-se cada vazão por
Q_i = \left(\dfrac{h_L}{R_i}\right)^{1/n}.
  • A vazão total é a soma das vazões dos ramos:
Q_{\text{tot}}=\sum_i Q_i=\sum_i \left(\dfrac{h_L}{R_i}\right)^{1/n}.
  • Para o caso usual n=2 (prática hidráulica comum) pode-se definir uma resistência equivalente R_{\text{eq}} tal que
h_L = R_{\text{eq}}\,Q_{\text{tot}}^{2},
e para dois ramos, por exemplo, obtém-se
\frac{1}{\sqrt{R_{\text{eq}}}}=\frac{1}{\sqrt{R_1}}+\frac{1}{\sqrt{R_2}} \quad\Rightarrow\quad R_{\text{eq}}=\left(\frac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{R_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{R_2}}}\right)^{2}.
Isto é útil para transformar condutos paralelos em um único conduto equivalente.

Passo 5

Resumo didático rápido para a prova (como raciocinar em poucos passos):
  1. Identifique que os dois nós são comuns a todos os ramos.
  2. Escreva que a diferença de cabeça entre nós é H_1-H_2.
  3. Conclua que essa diferença é a perda de carga em qualquer ramo: h_{L,i}=H_1-H_2.
  4. Use a lei característica de cada ramo h_{L,i}=R_i Q_i^n para encontrar Q_i e depois some para obter Q_{\text{tot}}.

Resposta

A perda de carga entre os nós inicial e final é a mesma para todos os ramos, isto é, h_{L,1}=h_{L,2}=\cdots=H_1-H_2.

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