Nas séries abaixo, b é um número real positivo. Sabe-se que os raios de convergência das séries de potências abaixo valem 1. Cada um dos três itens abaixo vale 0,5 ponto.
Determine b.
Passo 1
O enunciado diz: b é um número real positivo e “nas séries abaixo” (três séries) os raios de convergência das séries de potências valem 1. Pede-se: determinar b.
Informações que temos explicitamente:
b>0.
O raio de convergência de cada uma das três séries (que não foram incluídas na pergunta) é 1.
É pedido encontrar o valor de b.
Observação importante: as expressões das três séries não foram enviadas. Sem saber como os coeficientes das séries dependem de b não há como calcular b. Vou explicar exatamente por que e ensinar passo a passo o que fazer assim que as séries forem fornecidas.
Passo 2
O que é raio de convergência e como se relaciona com os coeficientes da série.
Considere uma série de potências geral centrada em zero
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os coeficientes a_n dependem possivelmente de b. O raio de convergência R é o número tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R. Uma ferramenta padrão para encontrar R é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.
Isto significa que, se for dado que R=1, então necessariamente
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=1.
Outra forma prática, quando o limite existe, é usar o teste da razão:
Se esse limite existir e for igual a L, então R=1/L. Para R=1 precisamos de L=1.
Passo 3
Como isso se traduz em uma equação para b.
Passos concretos que eu faria ao ter cada série:
Identificar a expressão dos coeficientes a_n em função de n e de b.
Calcular \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}. Se for difícil, tentar o cálculo do limite
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
quando este existir.
3. Impor que o resultado seja igual a 1 (porque R=1) e resolver a igualdade para b.
Exemplos didáticos (esses são exemplos modelo, não são as séries do seu enunciado; servem para treinar a técnica):
Exemplo A (coeficiente com potência em n): se a_n=n^{b}, então
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{n^{b}}=n^{b/n}.
Como n^{1/n}\to 1, segue n^{b/n}\to 1 para qualquer b. Assim \limsup \sqrt[n]{|a_n|}=1 para todo b. Conclusão: a condição R=1 não determina b — qualquer b serve.
Exemplo B (coeficiente exponencial em n): se a_n=b^{n} com b>0, então
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{b^n}=b.
Impor \limsup \sqrt[n]{|a_n|}=1 dá b=1. Aqui R=1 determina b.
Exemplo C (fatores fatoriais): se a_n=\dfrac{n!}{n^{b}}, podemos usar que (n!)^{1/n}\sim n/e (fórmula de Stirling). Então
Como n^{-b/n}\to 1, o comportamento é como \dfrac{n}{e}\to\infty, logo \limsup \sqrt[n]{|a_n|}=\infty e isso dá R=0. Novamente R=1 não ocorre para qualquer b aqui; logo não seria compatível.
Exemplo D (razão entre exponenciais): se a_n=\dfrac{n^b}{c^n} com c>0 fixo, então
\sqrt[n]{|a_n|}=n^{b/n}\,c^{-1}\to c^{-1}.
Impor igual a 1 dá c=1, e o parâmetro b desaparece — b não é determinado.
Esses exemplos mostram duas lições importantes:
Se b aparece só em um fator polinomial n^{\pm b}, geralmente \sqrt[n]{n^{\pm b}}\to 1 e a condição R=1 não determina b.
Se b aparece como base de uma exponencial b^{n} nos coeficientes, a condição R=1 usualmente força b a valer 1.
Passo 4
Como proceder na prova (roteiro passo a passo, pronto para aplicar na hora):
Escreva os coeficientes a_n explicitamente em função de n e b.
Se o limite L existe, então imponha L=1 e resolva para b. Se o limite não existir ou for muito difícil, passe para o cálculo de
\ell:=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},
e imponha \ell=1.
3. Use aproximações clássicas quando necessário (por exemplo, (n!)^{1/n}\sim n/e, n^{1/n}\to 1, \sqrt[n]{c^n}=c).
4. Cheque se a equação resultante realmente tem solução b>0. Se a equação não envolve b (por exemplo, dá sempre 1 independentemente de b), então não há determinação única de b.
5. Escreva a conclusão item por item: para cada série, o(s) valor(es) de b compatíveis ou “não determinado”.
Passo 5
Resumo prático e pedido para poder resolver definitivamente.
Resumo prático: para cada série que você tiver, calcule \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} (ou o limite da razão). Imponha que esse valor seja 1. Resolva a equação resultante para b. Em muitos casos em que b aparece apenas em potências de n (como n^{b} ou 1/n^{b}) a condição R=1 não determina b. Em casos em que b é base de uma exponencial b^{n} a condição normalmente determina b=1.
Para eu resolver o que o seu professor pediu: por favor envie as três séries (os termos gerais a_n em função de n e b). Sem esses termos não há como encontrar os valores de b.
Força aí — assim que você mandar as séries eu faço a resolução passo a passo, igual a um gabarito comentado, explicando cada etapa de forma bem mastigada.
Resposta
Não é possível determinar b porque as expressões das séries (os coeficientes a_n em função de n e b) não foram fornecidas.