Quais séries abaixo convergem absolutamente, convergem e quais divergem?
sumn=1^+infty(-1)^n arctg nn^2+1

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty (-1)^n arctg(n)n^2+1. O conteúdo principal aqui é analisar convergência de séries alternantes e convergência absoluta usando comparação com p-séries.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta calculando sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty arctg(n)n^2+1. Como para todo n vale arctg(n) <= pi2, temos
|an| = arctg(n)n^2+1 <= pi/2n^2+1 <= pi/2n^2
E sabemos que sumn=1^infty 1n^2 converge (p=2>1). Logo, por comparação, sum |an| converge.

Passo 3

Como a série converge absolutamente, concluímos que ela também converge (convergência absoluta implica convergência).

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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