Use o critério de comparação com limite para verificar se a série sumn=1^+infty(1raiz[3]n^2+2) é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^+infty1raiz[3]n^2+2 converge ou diverge usando o critério de comparação com limite. O conteúdo da matéria é séries numéricas e, mais especificamente, o teste de comparação por limite. Vamos precisar entender o termo geral da série, escolher uma série comparadora mais simples e calcular o limite da razão dos termos.

Passo 2

Chamando an = 1raiz[3]n^2+2, queremos encontrar uma série sum bn cuja convergência ou divergência seja conhecida e cujo termo geral bn tenha comportamento assintótico parecido com an.
Para grandes n, temos n^2+2sim n^2, então
an=1raiz[3]n^2+2=1n^2/3,(1+2/n^2)^1/3approx1n^2/3

Passo 3

Logo, escolhemos como comparadora a série de termos bn=1n^2/3. Sabemos que sum1n^p é a p-série, que converge se p>1 e diverge se p<=1. Aqui p=2/3<1, então sum bn diverge.

Passo 4

Aplicando o critério de comparação por limite, calculamos
L=limnto+inftyanbn=limnto+infty1n^2/3(1+2/n^2)^1/3g/1n^2/3=limnto+infty1(1+2/n^2)^1/3=1

Passo 5

Como 0 e sum bn diverge, o critério garante que sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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