Quais séries abaixo convergem absolutamente, convergem e quais divergem?
Passo 1
Resumindo o enunciado: a gente quer estudar a série alternante . O conteúdo envolve teste de convergência absoluta (série de termos positivos) e teste de Leibniz para séries alternantes.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, analisamos a série de módulos:
Aplicando o teste da integral, fazemos
integral2^inftydxxln x=lln(ln x)r|2^infty=+infty,
logo a série de módulos diverge, ou seja, não há convergência absoluta.
Passo 3
Agora usamos o teste de Leibniz (ou série alternante). Definimos an=1nln n, e vemos que:
an>0 para todo n>=2;
an+1, pois a função f(x)=1/(xln x) é decrescente para x>=2;
limntoinftyan=0.
Pelo teste de Leibniz, isso garante que sum(-1)^n an converge.
Passo 4
Concluindo: a série sumn=2^infty(-1)^n1nln n converge, mas não converge absolutamente. Portanto ela converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente).