Quais séries abaixo convergem absolutamente, convergem e quais divergem?
sumn=2^+infty(-1)^n 1n ln n

Passo 1

Resumindo o enunciado: a gente quer estudar a série alternante sumn=2^infty(-1)^n1nln n. O conteúdo envolve teste de convergência absoluta (série de termos positivos) e teste de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, analisamos a série de módulos:
sumn=2^infty|(-1)^n1nln n|= sumn=2^infty1nln n
Aplicando o teste da integral, fazemos
integral2^inftydxxln x=lln(ln x)r|2^infty=+infty,
logo a série de módulos diverge, ou seja, não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora usamos o teste de Leibniz (ou série alternante). Definimos an=1nln n, e vemos que:
  1. an>0 para todo n>=2;
  2. an+1, pois a função f(x)=1/(xln x) é decrescente para x>=2;
  3. limntoinftyan=0.
    Pelo teste de Leibniz, isso garante que sum(-1)^n an converge.

Passo 4

Concluindo: a série sumn=2^infty(-1)^n1nln n converge, mas não converge absolutamente. Portanto ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente).

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