Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de $ x^{3} e{x{2}} $ em relação a $ x $. Vamos utilizar o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica útil quando a integral envolve uma função composta. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a função $ e{x{2}} $, percebemos que o expoente $ x^{2} $ é uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Queremos expressar $ x^{3} , dx $ em termos de $ u $ e $ du $. Note que:
Passo 3
Substituindo na integral original, temos:
Agora, precisamos resolver a integral $ \int u e^{u} , du $. Para isso, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Voltando à nossa substituição original, temos:
Substituindo $ u = x^{2} $ de volta: