Calcule a integral.
integral(x^3 e^x^2) d x
(R: x^2 e^x^22-e^x^22+c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de $ x^{3} e{x{2}} $ em relação a $ x $. Vamos utilizar o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica útil quando a integral envolve uma função composta. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a função $ e{x{2}} $, percebemos que o expoente $ x^{2} $ é uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
e^x^2
Agora, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
x^2
Queremos expressar $ x^{3} , dx $ em termos de $ u $ e $ du $. Note que:
u = x^2

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral x^3 e^x^2 , dx = integral u2 e^u , du = 12 integral u e^u , du
Agora, precisamos resolver a integral $ \int u e^{u} , du $. Para isso, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u e^u , du
Escolhemos:
integral v , dw = v w - integral w , dv
v = u Rightarrow dv = du
Aplicando a fórmula:
dw = e^u , du Rightarrow w = e^u
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à nossa substituição original, temos:
12 integral u e^u , du = 12 ( u e^u - e^u ) + C
Substituindo $ u = x^{2} $ de volta:
u = x^2

Resposta

x^2 e^x^22 - e^x^22 + C

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