Nas séries abaixo determine se cada série diverge, converge condicionalmente ou é absolutamente convergente. Use qualquer teste ou teorema que achar conveniente para justificar sua resposta.
sumn=1^infty(-1)^n 1n^2+1

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty(-1)^n1n^2+1. O conteúdo principal aqui é convergência de séries alternadas e convergência absoluta, e vamos precisar usar o teste da série p e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty|(-1)^n1n^2+1|=sumn=1^infty1n^2+1
Comparando com a série p- sum 1/n^2, que converge para p=2>1, vemos que 1/(n^2+1)<=1/n^2 para todo n>=1. Pelo teste da comparação, a série de termos absolutos converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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