Use o teste de Leibniz, nos casos em que se aplica, para verificar a convergência das séries
sumn=1^infty ln (n) cos (n pi)

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=1^infty ln(n)cos(npi). O conteúdo é série alternante e vamos precisar do teste de Leibniz e do teste da divergência.

Passo 2

Observe que cos(npi)=(-1)^n. Logo a série fica sumn=1^infty(-1)^nln(n). Define-se an=ln(n).

Passo 3

O teste de Leibniz exige que an seja positiva, monótona decrescente e limntoinftyan=0. Aqui an=ln(n) é crescente e limntoinftyln(n)=+infty, logo falha em ambas as condições.

Passo 4

Pelo teste da divergência, se o termo geral não tende a zero, a série diverge. De fato, limntoinfty(-1)^nln(n) não existe (módulo cresce para +infty), então o termo geral não se anula.

Passo 5

Assim, a série não satisfaz o teste de Leibniz e diverge pelo teste da divergência.

Resposta

A série diverge.

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