Cylindrical shells In Section 6.2, we learned how to find the volume of a solid of revolution using the shell method; namely, if the region between the curve y=f(x) and the x-axis from a to b (0 is revolved about the y-axis, the volume of the resulting solid is integrala^b 2 pi x f(x) d x. Prove that finding volumes by using triple integrals gives the same result. (Hint: Use cylindrical coordinates with the roles of y and z changed.)

Passo 1

A questão pede para mostrar que o método dos cascos cilíndricos V=integrala^b 2pi x f(x),dx coincide com o cálculo por integral tripla. O conteúdo é volume de sólido de revolução e vamos usar coordenadas cilíndricas em torno do eixo y (isto é, trocar os papéis de y e z na cilíndrica usual).

Passo 2

O volume do sólido gerado é dado por V=integral triplaE dV, onde E é a região em R^3 obtida ao girar o domínio D=(x,y):a<= x<= b,;0<= y<= f(x) em torno do eixo y.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas ao redor do eixo y definimos
x=rhocostheta, z=rhosintheta, y=y,
de modo que o Jacobiano é dV=rho,drho,dtheta,dy e rho=raizx^2+z^2 é a distância ao eixo y.

Passo 4

A região E em coordenadas (rho,theta,y) fica descrita por
0<=theta<=2pi, a<=rho<= b, 0<= y<= f(rho),
já que ao girar um ponto (x,y) a distância ao eixo y é rho=x e o valor de y vai de 0 até f(x)=f(rho).

Passo 5

Agora montamos a integral tripla em E:
V=integraltheta=0^2piintegralrho=a^bintegraly=0^f(rho)rho,dy,drho,dtheta

Passo 6

Integramos primeiro em y:
integraly=0^f(rho)rho,dy=rho,f(rho)
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V=integral0^2piintegrala^brho,f(rho),drho,dtheta =2piintegrala^brho,f(rho),drho
Reconhecendo rho como x, temos exatamente o resultado do método dos cascos.

Passo 7

Assim mostramos que o cálculo por integral tripla em coordenadas cilíndricas em torno do eixo y reproduz o resultado V=2piintegrala^b x f(x),dx.

Resposta

V=2\pi\int_{a}^{b}x,f(x),dx

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