Cylindrical shells In Section 6.2, we learned how to find the volume of a solid of revolution using the shell method; namely, if the region between the curve
and the
-axis from
to
is revolved about the
-axis, the volume of the resulting solid is
. Prove that finding volumes by using triple integrals gives the same result. (Hint: Use cylindrical coordinates with the roles of
and
changed.)
Passo 1
A questão pede para mostrar que o método dos cascos cilíndricos
coincide com o cálculo por integral tripla. O conteúdo é volume de sólido de revolução e vamos usar coordenadas cilíndricas em torno do eixo
(isto é, trocar os papéis de
e
na cilíndrica usual).
Passo 2
O volume do sólido gerado é dado por
, onde
é a região em
obtida ao girar o domínio
em torno do eixo
.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas ao redor do eixo
definimos
de modo que o Jacobiano é
e
é a distância ao eixo
.
Passo 4
A região
em coordenadas
fica descrita por
já que ao girar um ponto
a distância ao eixo
é
e o valor de
vai de 0 até
.
Passo 5
Agora montamos a integral tripla em
:
Passo 6
Integramos primeiro em
:
Logo
Reconhecendo
como
, temos exatamente o resultado do método dos cascos.
Passo 7
Assim mostramos que o cálculo por integral tripla em coordenadas cilíndricas em torno do eixo
reproduz o resultado
.
Resposta
V=2\pi\int_{a}^{b}x,f(x),dx