Usando coordenadas polares, calcular
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral-2^2integral-raiz4 - x^2^raiz4 - x^2 y,dy,dx
no disco de raio 2 centrado na origem, usando coordenadas polares. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas (coordenadas polares) e vamos precisar do jacobiano e da expressão de y em função de (r,theta).

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Como x^2 + y^2 <= 4 define um disco de raio 2, os limites são
rin[0,2] e thetain[0,2pi].

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral duplaD y,dA = integral0^2piintegral0^2 (rsintheta),l(r,dr,dthetar) = integral0^2pisintheta,dtheta;integral0^2 r^2,dr
Aqui usei a propriedade de fatoração em produto de integrais porque os limites de r e theta são independentes.

Passo 4

Agora calculo cada parte separadamente. Primeiro
integral0^2 r^2,dr = l[tfracr^33r]0^2 = tfrac83
Em seguida,
integral0^2pisintheta,dtheta = 0
pelo fato de sintheta ser função ímpar no intervalo completo de 0 a 2pi.

Passo 5

Multiplicando os resultados, obtemos
integral duplaD y,dA = (integral0^2pisintheta,dtheta);(integral0^2 r^2,dr) = 0 times tfrac83 = 0

Resposta

0

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