Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas respostas. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n+1}}
se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Informações dadas:
O termo geral da série é (-1)^{n}a_n com
a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}>0.
A série é alternada devido ao fator (-1)^{n}.
O objetivo é (1) testar a convergência absoluta, (2) testar a convergência (como série alternada) e (3) combinar os resultados para classificar como absoluta, condicional ou divergente.
Passo 2
Testando convergência absoluta: considerar a série dos valores absolutos
Explicação do que é um teste de convergência absoluta: uma série \sum b_n converge absolutamente se \sum |b_n| converge. Aqui b_n=(-1)^n/\sqrt{n+1}.
Agora compare \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} com a série-p conhecida
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
para p=\tfrac{1}{2}. Lembrete rápido (teorema da série-p): a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1. Aqui p=\tfrac{1}{2}<1, então \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{1/2}} diverge.
Para fazer a comparação de forma rigorosa, use o teste da comparação limite (limit comparison): calcule
Como esse limite é um número finito e positivo, \sum \dfrac{1}{\sqrt{n+1}} tem o mesmo comportamento de \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Como \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge (série-p com p=\tfrac{1}{2}), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}
também diverge. Portanto a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Agora testar convergência da série alternada usando o teste de Leibniz (teste da série alternada). Vou explicar o teste: seja \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_n com a_n\ge0. Se
a_n é monotonicamente decrescente para n grandes (ou estritamente decrescente a partir de algum N), e
\lim_{n\to\infty}a_n=0,
então a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_n converge. Esse resultado é conhecido como critério de Leibniz.
Aplicando ao nosso caso com a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}:
(i) Mostrar que a_n\to 0. É direto:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}=0,
porque o denominador cresce sem limite. (Aqui a variável n tende ao infinito.)
(ii) Mostrar que a_n é decrescente (a partir de n=1). Compare a_{n+1} com a_n:
Como \sqrt{n+2}>\sqrt{n+1} para todo n\ge1, segue que a_{n+1}<a_n. Assim a sequência (a_n) é estritamente decrescente.
Como ambas condições do teste de Leibniz são satisfeitas, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n+1}}
converge.
Passo 4
Combinação dos resultados: já estabelecemos que
a série dos valores absolutos diverge (Passo 2), ou seja, não há convergência absoluta;
a série alternada converge (Passo 3) pelo teste de Leibniz.
Quando uma série converge, mas não converge absolutamente, diz-se que ela converge condicionalmente. Portanto, a classificação final é: a série converge condicionalmente.