Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
\vec{E}(\vec{r})=k \frac{q \vec{r}}{\|\vec{r}\|^{s}}, \operatorname{com} \vec{r}=(x, y, z), \vec{r} \neq \overrightarrow{0}

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
\vec{E}(\vec{r})=k\,q\,\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^{s}},
com \vec{r}=(x,y,z) e \vec{r}\neq\vec{0}. As constantes k e q são escalares e s é um parâmetro qualquer (real). O que se pede explicitamente é: calcular o divergente \nabla\cdot\vec{E}(\vec{r}) para \vec{r}\neq\vec{0}.
Informações relevantes dadas:
  • \vec{r}=(x,y,z).
  • \|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Campo \vec{E}(\vec{r})=kq\,\dfrac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^{s}}.
  • Pedido: \nabla\cdot\vec{E}(\vec{r}) para \vec{r}\neq\vec{0}.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição do divergente em coordenadas cartesianas e trabalhar componente a componente de forma direta e didática.
Definição (intuição curta): o divergente \nabla\cdot\vec{E} mede a taxa de “fonte” ou “sumidouro” do campo num ponto; em coordenadas cartesianas é dado por
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}.
No nosso caso as componentes são
E_x=kq\,\frac{x}{\|\vec{r}\|^{s}},\qquad E_y=kq\,\frac{y}{\|\vec{r}\|^{s}},\qquad E_z=kq\,\frac{z}{\|\vec{r}\|^{s}}.
Um atalho muito útil (e simples de provar diretamente) é a identidade
\nabla\cdot(f\vec{r})=f\,\nabla\cdot\vec{r}+\vec{r}\cdot\nabla f,
onde f é uma função escalar (aqui f(\vec{r})=\|\vec{r}\|^{-s}) e \vec{r}=(x,y,z). Vou usar essa identidade porque simplifica muito os cálculos e pode ser obtida expandindo componentes, então é totalmente válida e básica.

Passo 3

Calculemos \nabla\cdot\vec{r}. Isto é simples componente a componente:
\nabla\cdot\vec{r}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
Expliquei cada termo para ficar claro: a divergência do vetor posição é sempre 3 no espaço tridimensional.

Passo 4

Agora precisamos de \nabla f para f(\vec{r})=\|\vec{r}\|^{-s}. Aqui é preciso usar a regra da cadeia porque f depende de \|\vec{r}\| (uma função radial).
Defina r=\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Então f(r)=r^{-s}. A derivada em relação a r é
f'(r)=\frac{d}{dr}\big(r^{-s}\big)=-s\,r^{-s-1}.
Usando a regra da cadeia para o gradiente:
\nabla f = f'(r)\,\nabla r.
Mas \nabla r=(\partial r/\partial x,\partial r/\partial y,\partial r/\partial z)=(x/r,y/r,z/r)=\frac{\vec{r}}{r}. Logo
\nabla f = f'(r)\,\frac{\vec{r}}{r} = -s\,r^{-s-1}\,\frac{\vec{r}}{r} = -s\,r^{-s-2}\,\vec{r}\cdot r.
É mais simples e direto escrever (simplificando r^{-s-1}\cdot \frac{\vec{r}}{r}):
\nabla f = -s\,r^{-s-1}\,\frac{\vec{r}}{r} = -s\,r^{-s-2}\,\vec{r}\,r = -s\,r^{-s-1}\,\frac{\vec{r}}{r}\quad\text{(mas a forma prática que usaremos é abaixo).}áé
Para evitar confusão, usemos a forma limpa e padrão:
\nabla f = f'(r)\,\frac{\vec{r}}{r} = -s\,r^{-s-1}\,\frac{\vec{r}}{r} = -s\,r^{-s-2}\,\vec{r}\,r = -s\,r^{-s-1}\,\frac{\vec{r}}{r}.
(Observação: o trecho acima mostra a aplicação da regra da cadeia e que \nabla f é paralelo a \vec{r}.)
Mais direto para o produto escalar que usaremos:
\vec{r}\cdot\nabla f = \vec{r}\cdot\Big(f'(r)\frac{\vec{r}}{r}\Big)=f'(r)\,\frac{\vec{r}\cdot\vec{r}}{r}=f'(r)\,\frac{r^{2}}{r}=r\,f'(r).
Substituindo f'(r)=-s\,r^{-s-1} obtemos
\vec{r}\cdot\nabla f = r\cdot(-s\,r^{-s-1}) = -s\,r^{-s}.

Passo 5

Agora aplicamos a identidade do Passo 2 com f=\|\vec{r}\|^{-s}:
\nabla\cdot(f\vec{r})=f\,\nabla\cdot\vec{r}+\vec{r}\cdot\nabla f.
Substituindo os resultados:
\nabla\cdot\!\Big(\|\vec{r}\|^{-s}\vec{r}\Big)=\|\vec{r}\|^{-s}\cdot 3 + (-s)\,\|\vec{r}\|^{-s}=(3-s)\,\|\vec{r}\|^{-s}.
Como \vec{E}=kq\,\|\vec{r}\|^{-s}\vec{r}, o fator constante kq sai da divergência, então
\nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=kq\,(3-s)\,\|\vec{r}\|^{-s},
válido para \vec{r}\neq\vec{0}.

Passo 6

Interpretações rápidas (úteis para prova):
  • Para s=3 obtemos \nabla\cdot\vec{E}=0 para todo \vec{r}\neq\vec{0}. Isso é o que ocorre com o campo de Coulomb (até a singularidade no origem), e nessa situação há uma contribuição tipo delta de Dirac na origem se a carga estiver concentrada no ponto \vec{0} — mas isso já é matemática de distribuições, só um aviso físico.
  • Para outros s a expressão acima dá diretamente a densidade de fonte local (proporcional a r^{-s}).
Força aí — você já tem a fórmula e entendeu passo a passo como saiu. Agora, só copiar no caderno e treinar mais um exemplo rápido se quiser.

Resposta

\nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=k\,q\,(3-s)\,\|\vec{r}\|^{-s},\qquad (\vec{r}\neq\vec{0})

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