Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
com
e
. As constantes
e
são escalares e
é um parâmetro qualquer (real). O que se pede explicitamente é: calcular o divergente
para
.
Informações relevantes dadas:
-
. -
. - Campo
. - Pedido:
para .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição do divergente em coordenadas cartesianas e trabalhar componente a componente de forma direta e didática.
Definição (intuição curta): o divergente
mede a taxa de “fonte” ou “sumidouro” do campo num ponto; em coordenadas cartesianas é dado por
No nosso caso as componentes são
Um atalho muito útil (e simples de provar diretamente) é a identidade
onde
é uma função escalar (aqui
) e
. Vou usar essa identidade porque simplifica muito os cálculos e pode ser obtida expandindo componentes, então é totalmente válida e básica.
Passo 3
Calculemos
. Isto é simples componente a componente:
Expliquei cada termo para ficar claro: a divergência do vetor posição é sempre
no espaço tridimensional.
Passo 4
Agora precisamos de
para
. Aqui é preciso usar a regra da cadeia porque
depende de
(uma função radial).
Defina
. Então
. A derivada em relação a
é
Usando a regra da cadeia para o gradiente:
Mas
. Logo
É mais simples e direto escrever (simplificando
):
Para evitar confusão, usemos a forma limpa e padrão:
(Observação: o trecho acima mostra a aplicação da regra da cadeia e que
é paralelo a
.)
Mais direto para o produto escalar que usaremos:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a identidade do Passo 2 com
:
Substituindo os resultados:
Como
, o fator constante
sai da divergência, então
válido para
.
Passo 6
Interpretações rápidas (úteis para prova):
- Para
obtemos para todo . Isso é o que ocorre com o campo de Coulomb (até a singularidade no origem), e nessa situação há uma contribuição tipo delta de Dirac na origem se a carga estiver concentrada no ponto — mas isso já é matemática de distribuições, só um aviso físico. - Para outros
a expressão acima dá diretamente a densidade de fonte local (proporcional a ).
Força aí — você já tem a fórmula e entendeu passo a passo como saiu. Agora, só copiar no caderno e treinar mais um exemplo rápido se quiser.