Custo Marginal Uma divisão das indústrias Ditton é responsável pela fabricação dos fornos de microondas Futura. O custo diário (em dólares) para produzir esses fornos de microondas é de
onde
denota o número de unidades produzidas.
Qual é o custo real envolvido na produção do
forno? E do
forno? E do
forno?
Qual é o custo real envolvido na produção do
Passo 1
O enunciado dá a função custo total diário (em dólares)
onde
é o número de unidades produzidas. Perguntas pedidas:
- Qual é o custo real envolvido na produção do
forno? - Qual é o custo real envolvido na produção do
forno? - Qual é o custo real envolvido na produção do
forno?
Informações relevantes listadas:
- A função
é o custo total para produzir unidades. - Para cada pedido é preciso o custo “real” (incremental) de produzir a unidade
-ésima (por exemplo, a unidade ª): isto significa quanto o custo total aumenta ao passar de para .
Passo 2
Explicação do método (passo a passo e por que funciona).
- Definição prática: o custo real (incremental) de produzir a
-ésima unidade é a diferença entre o custo total com unidades e o custo total com unidades, ou seja
Isso porque
dá o custo para produzir
unidades e
dá o custo para produzir
; a diferença é o acréscimo de custo devido à produção da unidade adicional.
- Observação útil (aproximação): a derivada
é a taxa instantânea de variação do custo. Para unidades grandes, costuma ser uma boa aproximação para . A derivada aqui vale
onde cada termo vem de derivar termo a termo a função
:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é , - constante desaparece.
Vamos calcular exatamente pelas diferenças
para
, mostrando cada etapa numérica.
Passo 3
Cálculo do custo real do
forno (isto é, custo da 101ª unidade).
Primeiro calcular
.
Agora cada termo de
:
e a constante é
.
Somando:
Somando:
Calcule passo a passo:
Portanto
Agora calcular
.
Termos:
constante
.
Somando:
Somando:
Diferença (custo da 101ª unidade):
Passo 4
Cálculo do custo real do
forno (custo da 201ª unidade).
Calcular
.
Termos:
constante
.
Somando:
Somando:
Logo
Calcular
.
Termos:
constante
.
Somando:
Somando:
Diferença (custo da 201ª unidade):
Passo 5
Cálculo do custo real do
forno (custo da 301ª unidade).
Calcular
.
Termos:
constante
.
Somando:
Somando:
Portanto
Calcular
.
Termos:
constante
.
Somando:
Somando:
Diferença (custo da 301ª unidade):
Passo 6
Verificação usando a derivada como aproximação e interpretação final.
- Avaliando
nos pontos :
- Observa-se que
, , são valores muito próximos das diferenças exatas que calculamos ( , , ). Isso mostra que a derivada fornece uma ótima aproximação do custo incremental quando a unidade muda de para ; a diferença pequena é devido ao termo cúbico que causa variação não-linear em passos discretos.
Força final: você já tem a técnica para a prova — calcule
e
e faça a diferença; se quiser rapidez e sentir segurança com aproximações, use
ou
como estimativa rápida.