Custo Marginal Uma divisão das indústrias Ditton é responsável pela fabricação dos fornos de microondas Futura. O custo diário (em dólares) para produzir esses fornos de microondas é de
C(x)=0,0002 x^{3}-0,06 x^{2}+120 x+5.000
onde x denota o número de unidades produzidas.
Qual é o custo real envolvido na produção do 101^{\circ} forno? E do 201^{\circ} forno? E do 301^{\circ} forno?

Passo 1

O enunciado dá a função custo total diário (em dólares)
C(x)=0{,}0002x^{3}-0{,}06x^{2}+120x+5.000,
onde x é o número de unidades produzidas. Perguntas pedidas:
  • Qual é o custo real envolvido na produção do 101^{\circ} forno?
  • Qual é o custo real envolvido na produção do 201^{\circ} forno?
  • Qual é o custo real envolvido na produção do 301^{\circ} forno?
Informações relevantes listadas:
  • A função C(x) é o custo total para produzir x unidades.
  • Para cada pedido é preciso o custo “real” (incremental) de produzir a unidade n-ésima (por exemplo, a unidade 101ª): isto significa quanto o custo total aumenta ao passar de n-1 para n.

Passo 2

Explicação do método (passo a passo e por que funciona).
  • Definição prática: o custo real (incremental) de produzir a n-ésima unidade é a diferença entre o custo total com n unidades e o custo total com n-1 unidades, ou seja
\text{custo da \(n\)-ésima unidade} = C(n)-C(n-1).é
Isso porque C(n) dá o custo para produzir n unidades e C(n-1) dá o custo para produzir n-1; a diferença é o acréscimo de custo devido à produção da unidade adicional.
  • Observação útil (aproximação): a derivada C'(x) é a taxa instantânea de variação do custo. Para unidades grandes, C'(n) costuma ser uma boa aproximação para C(n)-C(n-1). A derivada aqui vale
C'(x)=0{,}0006x^{2}-0{,}12x+120,
onde cada termo vem de derivar termo a termo a função C(x):
  • derivada de 0{,}0002x^{3} é 3\cdot0{,}0002x^{2}=0{,}0006x^{2},
  • derivada de -0{,}06x^{2} é -2\cdot0{,}06x=-0{,}12x,
  • derivada de 120x é 120,
  • constante desaparece.
Vamos calcular exatamente pelas diferenças C(n)-C(n-1) para n=101,201,301, mostrando cada etapa numérica.

Passo 3

Cálculo do custo real do 101^{\circ} forno (isto é, custo da 101ª unidade).
Primeiro calcular C(101).
101^{2}=10.201,\qquad 101^{3}=1.030.301.
Agora cada termo de C(101):
0{,}0002\cdot101^{3}=0{,}0002\cdot1.030.301=206{,}0602,
-0{,}06\cdot101^{2}=-0{,}06\cdot10.201=-612{,}06,
120\cdot101=12.120,
e a constante é 5.000.
Somando:
C(101)=206{,}0602-612{,}06+12.120+5.000.
Calcule passo a passo:
206{,}0602-612{,}06=-405{,}9998,
-405{,}9998+12.120=11.714{,}0002,
11.714{,}0002+5.000=16.714{,}0002.
Portanto
C(101)=16.714{,}0002.
Agora calcular C(100).
100^{2}=10.000,\qquad 100^{3}=1.000.000.
Termos:
0{,}0002\cdot1.000.000=200,
-0{,}06\cdot10.000=-600,
120\cdot100=12.000,
constante 5.000.
Somando:
C(100)=200-600+12.000+5.000=16.600.
Diferença (custo da 101ª unidade):
C(101)-C(100)=16.714{,}0002-16.600=114{,}0002.

Passo 4

Cálculo do custo real do 201^{\circ} forno (custo da 201ª unidade).
Calcular C(201).
201^{2}=40.401,\qquad 201^{3}=8.120.601.
Termos:
0{,}0002\cdot8.120.601=1.624{,}1202,
-0{,}06\cdot40.401=-2.424{,}06,
120\cdot201=24.120,
constante 5.000.
Somando:
1.624{,}1202-2.424{,}06=-799{,}9398,
-799{,}9398+24.120=23.320{,}0602,
23.320{,}0602+5.000=28.320{,}0602.
Logo
C(201)=28.320{,}0602.
Calcular C(200).
200^{2}=40.000,\qquad 200^{3}=8.000.000.
Termos:
0{,}0002\cdot8.000.000=1.600,
-0{,}06\cdot40.000=-2.400,
120\cdot200=24.000,
constante 5.000.
Somando:
C(200)=1.600-2.400+24.000+5.000=28.200.
Diferença (custo da 201ª unidade):
C(201)-C(200)=28.320{,}0602-28.200=120{,}0602.

Passo 5

Cálculo do custo real do 301^{\circ} forno (custo da 301ª unidade).
Calcular C(301).
301^{2}=90.601,\qquad 301^{3}=27.270.901.
Termos:
0{,}0002\cdot27.270.901=5.454{,}1802,
-0{,}06\cdot90.601=-5.436{,}06,
120\cdot301=36.120,
constante 5.000.
Somando:
5.454{,}1802-5.436{,}06=18{,}1202,
18{,}1202+36.120=36.138{,}1202,
36.138{,}1202+5.000=41.138{,}1202.
Portanto
C(301)=41.138{,}1202.
Calcular C(300).
300^{2}=90.000,\qquad 300^{3}=27.000.000.
Termos:
0{,}0002\cdot27.000.000=5.400,
-0{,}06\cdot90.000=-5.400,
120\cdot300=36.000,
constante 5.000.
Somando:
C(300)=5.400-5.400+36.000+5.000=41.000.
Diferença (custo da 301ª unidade):
C(301)-C(300)=41.138{,}1202-41.000=138{,}1202.

Passo 6

Verificação usando a derivada como aproximação e interpretação final.
  • Avaliando C'(x) nos pontos x=100,200,300:
C'(100)=0{,}0006\cdot100^{2}-0{,}12\cdot100+120=6-12+120=114,
C'(200)=0{,}0006\cdot200^{2}-0{,}12\cdot200+120=24-24+120=120,
C'(300)=0{,}0006\cdot300^{2}-0{,}12\cdot300+120=54-36+120=138.
  • Observa-se que C'(100)=114, C'(200)=120, C'(300)=138 são valores muito próximos das diferenças exatas que calculamos ( 114{,}0002, 120{,}0602, 138{,}1202). Isso mostra que a derivada fornece uma ótima aproximação do custo incremental quando a unidade muda de n-1 para n; a diferença pequena é devido ao termo cúbico que causa variação não-linear em passos discretos.
Força final: você já tem a técnica para a prova — calcule C(n) e C(n-1) e faça a diferença; se quiser rapidez e sentir segurança com aproximações, use C'(n-1) ou C'(n) como estimativa rápida.

Resposta

\$114{,}0002
\$120{,}0602
\$138{,}1202

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